曹亮吉

數學的證明有所謂的存在型及建構型兩類。譬如要證明任何兩個正整數 a、b 都有最大公約數，我們可以這麼證：考慮型如 ax+by 的整數，其中 x、y 為任意的整數。設 d=ax₀+by₀ 為 {ax+by} 中最小的正數；這樣的 d 一定存在，而且它就是 a、b 兩數的最大公約數 ^註1 。 這是一個存在型的證明：d 雖然是存在的，但如果 a=10¹¹+1,b=10²¹+1，這個證明卻無法告訴我們 d 到底是多少。

在《原本》中，歐幾里得用的是輾轉相除求最大公約數的方法，它不但告訴我們兩個正整數一定有最大公約數，而且告訴我們怎樣去找。這是建構型的證明。

其實，在《原本》中，歐幾里得已經會使用存在型的證明。他說質數有無窮個；假設不然，設 為所有的質數。考慮 這個數，它的質因數一定不是 p_i，因為 p_i 除 m 都除不盡。所以 為所有的質數這樣的假定是錯的，所以質數有無窮個。在這個證明過程中，歐幾里得並沒有把無窮個質數造出來給你看，所以這是存在型的證明。其實只要稍加修改，上述的證明就可以變成建構型的：假定我們已經找到 n 個質數 ，則將 這個數分解，所得的質因數一定和 p_i 不同，所以我們可以找到第 n+1 個質數。依建構型的觀點，這種潛在的無窮方法是可以接受的。

雖然歐幾里得已經使用了存在型的證明，但希臘以降直到十八世紀為止，數學證明幾乎都是建構型的，這大概和希臘的數學以尺規作圖實際能建構者為限有關。譬如用尺規作圖無法作出一角的三等分線，所以有關三等分線的性質就少有人研究。到了十九世紀，從 Gauss 代數基本定理的存在型證明（見科學月刊第十六卷第一期本欄）開始，這一類型的證明就愈來愈普遍。

十九世紀下半有所謂的代數不變量論。譬如將二次三項式 ax²+bxy+cy² 施以線性變換

的確，少數一些數學家對於存在型的數學很是反感，尤其是當集合論興起，引出許多矛盾的問題。他們認為只是存在而不知在那兒的，就不該算是數學的實體；當集合的濫用引出許多矛盾之後，更有一派數學家極力主張惟有建構型的實體、建構型的證明才能接受。他們找出存在型的「禍根」，包括無窮集合論、邏輯上的矛盾證法及排中律，這些統統在排除之列。

建構學派的基本觀點是這樣的：自然數是一切數學的出發點，凡是能從自然數一步一步建構出來的（不能用存在型的方法）才算是數學的實體。實數整體由此不可得，不能做為研究的對象。其他的無窮元集合也一樣，都在排除之列，除非是像自然數 1,2,3……那樣的潛在的無窮。所以建構學派否定無窮，這是大部分數學家所不能接受的，尤其是 Zermelo、Fraenkel、von Neumann 等人修訂了集合論公理之後，集合論一方面足夠導出傳統的分析學內容，另一方面也免除了集合論濫用所引起的許多矛盾；否定無窮，就使數學園地大為縮小。Hilbert 說：「沒有人能夠把我們從 Cantor（集合論的發明者）為我們建造的樂園中趕出去。」大部分的數學家都會同意這樣的看法。

在「質數無窮多」的證明中，歐幾里得先假設質數個數有限，然後導出質數個數不是有限的結果。根據「一個敘述及其否定不能同時為真」的邏輯原理，質數個數有限的假定錯了，這是所謂的（歸於）矛盾（的）證法。從「質數個數有限的假定錯了」推到「質數個數無窮」，則要用排中律，它說：一個敘述及其否定兩者之中有一要為真。雖然矛盾證法與排中律我們是那麼熟悉，對數學的證明是那麼有用，但它們確實是許多存在型證明的根源。如果堅持建構型的證明，那麼也只好忍痛割愛了。

當然，矛盾證法與排中律是那麼可愛，大部分的數學家愛用都來不及，當然不會附和建構學派的主張。因此二十世紀數學的特色之一，仍然是存在型的證明大行其道。其實就建構的觀點而言，存在型的證明也有其用處。譬如，根據存在型的證明，二次常微分方程式 y"=-y 的解為二維的線性組合。當我們知道，, 是兩個線性無關的解後，存在型的證明告訴我們： 是所有可能的解──這正是建構型證明所要的。

二十世紀中葉以來，電腦科學興起。電腦注重的是算則 (algorithm)──一步一步的計算步驟，因此存在型的證明就與電腦計算聯不上關係，惟有建構型的證明才為電腦所歡迎。於是建構型的數學又漸漸抬頭，不少人找出從前用存在型證明證過的定理，想辦法重新用建構型的方法證明。甚至只刊登建構型證明的雜誌也都出現了。雖然如此，電腦計算總有容量的限制，想知道誤差有多少，卻往往需要存在型數學的幫忙。電腦只能說不願意臣屬於存在型的數學，但還是歡迎它的拔刀相助的。