遺傳與數學 (第 4 頁)

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遺傳與數學（第 4 頁）

林仁混

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．原載於科學月刊第十卷第二期
．作者當時任教於台大醫學院生化學研究所
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二項式在遺傳上的應用

生男育女費猜疑

1676年牛頓發現了二項式的展開式；到十七世紀時數學家伯努利才把二項式的展開式應用到遺傳學上。生男育女本是極平常的事，其或然率卻可用二項式的展開式來預測。設生男的機會為p，則育女的機自為1-p或q。在理論上 $p=q=\frac{1}{2}$ ，若一對夫婦一連生下二個小孩，其生男育女之或然率為：

(p+q)²=p²+2pq+q²

二個都是男的機會為 $p^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ ；一男一女的機會為 $2pq=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$ ；二個都是女的機會為 $p^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ ，假如一連生下三個小孩，其生男育女之或然率為：

(p+q)³=p³+3p²q+3pq²+q³

連生三個都是男孩的機會為 $p^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$ ；二男一女的機會為 $3p^2q=3(\frac{1}{2})^2\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$ ，一男二女的機會為 $3p^2q=3(\frac{1}{2})^2\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$ ；一連生三個千金的機會為 $p^3=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$ 。

數學家喜歡用一般式來表示二項式展開式；

$\begin{displaymath} \frac{n!}{m!(n-m)!} p^mq^{n-m} \end{displaymath}$

n=小孩子的數目； $n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1$

m=生男發生之次數；p為生男的機會，q為育女之機會。

問；在10個小孩的家庭裏，6 男 4 女發生之機會為多少？

答：

$\begin{displaymath} \frac{10!}{6!(10-6)!}(\frac{1}{2})^6(\frac{1}{2})^{10-6}= \f... ...times 2\times1} (\frac{1}{2})^6(\frac{1}{2})^4=\frac{105}{512} \end{displaymath}$

哈定-溫伯(Hardy-Weinberg)定律

該定律是族群遺傳學(population genetics)的基本定律。它是由英國數學家哈定及德國醫生溫伯(Weinberg)分別推論出來。在一族群中有很多基因型之出現；若要計算其頻率就要借助於哈定-溫伯定律。通常這些基因型在族群中出現之機會已達到平衡的狀況。又稱哈定-溫伯平衡。此時任何一個基因之頻率都符合二項式(p+q)²之展開式p²+2pq+q²=1。吾人必須注意者，在自然界中之突變、選擇等對上述平衡有干擾作用，但仍不能阻止其趨向平衡。

哈定-溫伯定律之重要啟示，是各種基因型在一族群中之頻率代代相同。在一平衡之族群中基因型TT,Tt,tt之頻率各為p²,2pq,q²。該族群經過任意交配之後，各種基因型出現於後代之情形如表一所示。可見基因型TT,Tt及tt之頻率依然為p²,2pq及q²。

表一：哈定-溫伯定律之

交配之基因型	出現之頻率		後代
		TT	Tt	tt
TT×TT	p⁴	p⁴
TT×Tt	4p³q	2p³q	2p³q
TT×tt	2p²q²		2p²q²
Tt×Tt	4p²q²	p²q²	2p²q²	p²q²
Tt×tt	4pq³		2pq³	2pq³
tt×tt	q⁴			q⁴