以上介紹了解聯立方程式，重複趨近法等。我們借用向量以及向量變換作工具。細心的讀者也許發覺到，用向量的符號雖較簡潔，但當實際去求「解」時（就是算反變換 A-1），還是差不多麻煩。這樣，又何必費那麼大勁去討論向量，變換等等呢？
當然，如果你的目的只在解一個三元聯立方程組，大可不必費這麼多手腳。用向量及變換作工具，主要還是取其簡潔，而便於理論探討。許多有趣問題，如果缺乏簡潔符號，根本不可能被發現，被研究。以下就簡介一個實際例子。
前面討論過一個變換 A 具有方向性。我們已說過，方向性有幾個值得探討的重點。但還漏了一點：一個變換是不是一定把一個向量改變了方向？可不可能有某個向量  不會被 A 改變了方向？用式子來寫，即：
就是說，A 把 變換成  ──方向仍然在 上，只不過長度增大了 k 倍。
這樣的 存在嗎？通常是存在的。而且，如果 A 是作用在 n 度空間上的向量，通常便有 n 個不同（方向）的這種向量。
這樣的向量，叫做一個變換 A 的特徵向量 (eigenvectors)；
而那個 k 值，則叫做特徵值 (eigenvalues)。
如果我們還是寫出嚕嗦的聯立方程組：
在這麼嚕嗦的式子上打轉，我們一定不可能想到去求什麼特徵值，特徵向量等問題來。
而這問題不僅有趣，更有極大用途。現代物理學是奠基在量子力學上，而量子力學的數學問題就是在求這種特徵值與特徵向量呢！
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