前面的討論可以推廣到三元，四元……聯立方程式上，但並不很容易。尤其推廣到多元時，每次要寫那麼多個方程式，那麼多係數，也夠煩人了。煩人不但浪費時間，往往還看不清要點。許多科學的進展，都基於公式的簡潔。因此，在進一步探討前，先設法把符號簡化一下。
例如，我們有三元聯立方程組：
（這兒不用 x,y,z 而用 x1,x2,x3 也是為了方便。注意：x2 不是 x 的二次方。這裏我們只涉及一次，應不會產生誤解。）我們能不能設法寫成一個式子呢？
當然可以！符號只不過是符號，任由人規定。我們可將之規定為：
按方程組的秩序排列。再規定 A「乘」 為：
乘的結果是和 , 等類似的東西，由三個數排成（注意：
A11 x1+A12 x2 + A13 x3 只是一個數）。這相當於三度空間中的一個向量（從原點到三個數代表的那一點）。我們用
代表三個方程式，便要求  這個向量的三個分向量分別和 的三個分向量（為 c1,c2,及 c3）相等。這也正是向量代數的規定。
這樣，聯立方程組的問題，等於是向量空間上的問題。用向量空間的眼光來看，
表示 這個向量被 A 乘了後，變成另一個向量 。
這兒，A 把一個向量變換 (Transform) 成另個向量，便管它叫做變換矩陣 (Transformation Matrix，所以叫做矩陣，是因為它是矩形──正方形是矩形的特例）。解聯立方程組，便等於說，我們有個變換矩陣 A，有個特定的向量 ，要求出一個向量 ，它剛好被 A 變換成 。
變換的實例太多了。把一個向量，以某一定方向為軸旋轉個角度是個例子。高中解析幾何中所討論座標軸的旋轉便是此類。（高三讀者當會知道，適當的轉軸可以把曲線方程式化成簡單形式）。把向量沿某些方向延長或縮短若干倍也是種變換；把個向量變為負向量（即所有分向量均乘負號）也是一種；把向量投影在某一座標軸（或任何方向）也是一種（以上諸種，參見圖I）。其他如把每一向量加一特定已知向量，把某兩個座標軸互相對調，等等。
圖I：幾種變換的例子：1. A1 旋轉；2. A2 放大；3. A3 原點反射；4. A4 y 軸投影
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在各種變換中，可大概分為二類。一類是可逆的，例如旋轉 θ 角，再反轉同樣角度，就回復到原來向量。一類是不可逆的，例如投影，有無數個向量投影到同一向量，我們便分辨不出原來是由那個向量投影的（見圖II）。因此，投影這種變換是不可逆的。
解聯立方程組
 ，等於求一個向量 ，它會被 A 變換成 。從上面分析，我們知道 等於 A 的反變換（記作 A-1）作用在 上：
這樣，解聯立方程便變為求反變換了。
我們知道，聯立方程組未必有解，這相當於那個變換是不可逆的。這類變換，數學上管它叫做奇異的 (Singular)，可逆的便是非奇異的 (Non-singular)。
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