Laplacian 算子對應譜的最近發展 (第 2 頁)

　1│2　

Laplacian 算子對應譜的最近發展
丘成桐先生演講（第 2 頁）

丘成桐
紀錄：賴玲淑;劉榮彰

首頁 | 搜尋

．丘成桐先生80年11月4日於中正大學應數所之演講，原載於數學傳播第十五卷第四期
‧對外搜尋關鍵字

(二) elliptic 問題：即 Heat equation method

首先考慮 $\exp (+t\Delta)$ 算子，並考慮 $\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_i(x)u_i(y)$ ，我們可以證明在 t>0 時會收歛。定義 $H(t,x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_i(x)\cdot u_i(y) , t>0$ ，可知 H 不但收歛而且是 $C^{\infty}$ 函數，此時 H(t,x,y) 滿足

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{\partial H}{\partial t}-\Del... ...rrow 0} H(t,x,y)=\delta_x (y) \end{eqalign}\right. \eqno{(*)} \end{displaymath}$

且

$\begin{displaymath} \int_{M} H(t,x,y)dx =\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}\int... ...}(x) =\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}\mbox{,}t>0\eqno{(1)} \end{displaymath}$

由此可知譜 $\{\lambda_i\}$ 與函數 $\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}=:f(t)$ 是等價的，從這個等價的結果，我們就發現一個方法來研究 $\{\lambda_i\}$ 與古典力學的一些關聯性，這兩者的關係是什麼呢？就是說所謂 Heat equation，(*)可以用不同的方法來解，亦即可以用 approximate 方法來算，我們可以硬將其解寫下來。我們令

$\begin{displaymath} H_n(t,x,y)=C_n t^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\vert x-y\vert^2}{2... ...nus0.1pt{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 98}} \end{displaymath}$

這就是在 n 維空間裡 Heat equation 的解（對應於所謂的 Gaussian Distribution）。而現在我們在二維空間裡，熱方程式的解已經找到了！但我們需要加入一些邊界值的條件，（這有如我們固定一個區域，然後考慮熱從此區域流失的現象），亦即(*)變為

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{eqalign} & \frac{\partial H}{\partial t}-\De... ...t,x,y)=0, x\in \partial\Omega \end{eqalign}\right. \eqno{(**)} \end{displaymath}$

此時(**)的解就須加入一些項：

$\begin{displaymath}a_0 (x,y)+a_1 (x,y)\sqrt{t}+a_2 (x,y)t+\cdots\end{displaymath}$

亦即 $H(t,x,y)=C_n t^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\vert x-y\vert^2}{2t}}(a_0 (x,y)+a_1 (x,y)\sqrt{t}+a_2 (x,y)t+\cdots \cdots)$ 然後逐項的去解 a_i, i=0,1,2,…,a_i 可以用區域的幾何（如邊界的長度，曲率以及其微分， $\cdots \cdots$ ）來表示。其實這樣解出來的無窮級數並不收歛，但這沒有造成什麼問題，因為我們只考慮當 t 很小的時候（這對於 $\lambda_i$ 很大的時候）；我們得到

$\begin{displaymath} \int_{M}H(t,x,x)dx =C_{n} t^{-\frac{n}{2}}(\int_{M}a_0 (x,x)dx+\int_{M}a_1 (x,x)dx \sqrt{t}+\cdots)\eqno{(2)} \end{displaymath}$

由(1)(2)， $\Rightarrow$

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t} &=& C_n t^{-\frac{n}{2}... ...a_0 (x,x)dx+\int_{M}a_1(x,x)dx \sqrt{t}+\cdots),t\rightarrow 0 \end{displaymath}$

我們可證明 a₀(x,x)=1，所以得到

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t} = C_n t^{-\frac{n}{2}}(\mbox{Vol}(M)+O(\sqrt{t})) , \; t\rightarrow0 \end{displaymath}$

亦即給定一組 $\{\lambda_i\}$ ，我們可以決定出

$\begin{displaymath}\mbox{Vol}(M)=\frac{1}{C_n}\lim_{t\rightarrow0}t^{\frac{n}{2}}\sum_{i=1}^{\infty}e^{-\lambda_i t}\end{displaymath}$

事實上，也可算出

$\begin{eqnarray*} \mbox{Area}(\partial M) &=& \int_{M}a_1(x,x)dx \\ \int_{M}\mathbf{R} &=& \int_{M} a_2(x,x)dx \; , \end{eqnarray*}$

其中 R 是曲率 (curvature)。

以上的 Heat equation method 也是用二種不同的方法，得到 $\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=0$ 的基本解在 $t\rightarrow 0$ 時，然後讓它們相等，得到一串訊息，如 $\mbox{Vol}(M)$ , $\mbox{Area}(\partial M)$ , $\cdots \cdots$ ，這是在eigenvalue(譜)中很重要的方法，可是此方法還是不夠用的，因為只看 $t\rightarrow 0$ ，就像在 WKB method 中也會遺失了一些訊息，因此，也無法從 wave mechanical approach 和 elliptic 完全決定區域 Ω。

例：在 wave equation 時，考慮 wave kernel，其訊息基本上是沿著 (travel along) characteristics 傳播，即所謂 null curve，在區域裡，相當於 geodesic，而從 geodesic 可以得到一串 eigenvalue $\{\lambda_i\}$ ，如何得到呢？我們在流形上說明比較容易。例如在 torus 上，有一個封閉的 geodesic，如下圖

圖二

我們可以作一管狀鄰域 (tubelar neithborhood) V，然後可以得到一組函數 $\phi_i$ ；這些函數在 V 之外為 0（零），然後在這些 geodesics 附近有值，事實上 closed geodesic 本身就有許多訊息，我們可以定義 Poincaré map（映射），從這個映射，我們可以建構一組近似的 eigenfunction $\phi_i$ 出來，即 $\parallel \phi_i \parallel_2 =1$ , $\parallel \Delta \phi_i - \lambda_i \phi_i \parallel_2 < \epsilon_i$ ，其中 $\epsilon_i \rightarrow 0$ as $i \rightarrow \infty$ ， $\phi_i$ 可以用 Poincaré map 寫下來，而對於這些 eigenvalues 的行為，我們知道的不多，但這一串的 eigenvlues 是無法從以上的方法 (Heat equation) 得到的。

例如：torus $T^2={\bf R^2}/{\bf Z^2}$ 其 metric 為 dx²+dy²，曲率K=0，而在 T² 上，Heat equation 的近似解為 $Ct^{-1}\exp^{-\frac{\vert x-y\vert^2}{2t}}$ as $t\rightarrow 0$ 。亦即

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{\infty}\exp^{-\lambda_i t} \sim Ct^{-1}\exp^{-\f... ...ert^2}{2t}},\hspace{5pt}\mbox{as}\hspace{5pt} t \rightarrow 0, \end{displaymath}$

沒有了 lower terms，即只有 a₀=1，其它都為 0，所以無法得到很好的訊息當 $t\rightarrow 0$ 。但從 wave equation 可以找到所有的 closed geodesic 的長度，叫做 $\{\ell_i\}$ ，而 $\{\ell_i\}$ 可由 $\{\lambda_i\}$ 決定，又在某些特別情形下， $\{\lambda_i\}$ 亦可由 $\{\ell_i\}$ 決定，至少在 tori 的情形可以決定 $\{\lambda_i\}$ 。如在 Mⁿ（M 是 n 維流形），K=-1 時，我們可以證明 $\{\ell_i\} \Leftrightarrow \{\lambda_i\}$ ，這即為著名的 Selberg trace formula。

現在要講幾個做了很多年的問題，其中一個就是如何了解多少個 $\lambda_i$ 即決定 Ω 的幾何性質的問題，譬如 $\{\lambda_i\}$ 可決定 $\mbox{Vol}(M)$ 這個不變量，亦即從頻率決定了面積有多大（討論二維時），這就是前面所寫的公式：

$\begin{displaymath} \lim_{t \rightarrow 0}C_n t^{-\frac{n}{2}}\sum_{i=1}^{\infty}\exp^{-\lambda_i t}=\mbox{Vol}(M) \; . \end{displaymath}$

底下我們想想看事實上能否真正地決定面積的這個問題。考慮打一個鼓，是否可以聽出它的面積 (Area) 有多大？其實這是有點欺騙。因為打鼓的時候，只能聽到有限 (finite) 的 $\lambda_i$ ，不可能將函數 $\sum_{i=1}^{\infty}\exp^{-\lambda_i t}$ 找出來。這邊一個問題就是這樣： $\mbox{Vol}(M)$ 是否可以有效的決定 (determine effectively)？就是能不能真的從有限的 $\lambda_i$ 有效決定 $\mbox{Vol}(M)$ 的問題，這個問題有可能沒辦法做到的。

圖三

現在舉個最簡單的例子，就是考慮一個長方形區域(如上圖)，慢慢拉長的時候，此時長方形的譜從兩邊得到，一邊從 x 方面，另一邊從 y 方向，而 x 方向有 $\phi_i (x)$
$\mbox{(eigenfunction)}$ ， y 方向有 $\psi_j(y)$ (eigenfunction)，而 $\phi_i (x)$ 的相對固有值(eigenvalue) 為 $\lambda_i$ ， $\psi_j(y)$ 相對的固有值為 $\tilde{\lambda_j}$ ，所以整個長方形的譜為 ${\lambda_i + \tilde{\lambda_j}}$ ，那現在有什麼問題呢？就是若此長方形拉的很扁（窄），即固定寬度（y 方向），長度拉長（x 方向），此時 $\tilde{\lambda_j}$ 這邊很大， $\lambda_i$ 很小。而假如 $\tilde{\lambda_j}$ 很大，就看不到 $\tilde{\lambda_j}$ 此時長方形的譜慢慢靠近 $\{\lambda_i\}$ ，就有限步驟來看的時候，只看到 $\lambda_i$ 的部分，看不到 $\tilde{\lambda_j}$ 的部分（ $\lambda_i$ 與 $\tilde{\lambda_j}$ 相較之下），所以從 $\lambda_i$ 這邊看過去的話，無從曉得面積到底有多大？（因只有長度無法決定面積）。所以必須改變這問題，了解有效決定的意思。而不能說： Given $\varepsilon>0$ , determine Vol(M) up to ε 的問題為 $\exists n(\varepsilon)$ , $\lambda_i$ , $\cdots \cdots$ , $\lambda_n$ s.t. $\{\lambda_1$ , $\cdots \cdots$ , $\lambda_n\}$ determine Vol(M) up to ε。剛才的例子就說明了不可能做到。所以，我們要想個辦法知它的意思，這個辦法就是給定 $\varepsilon>0$ ，已知 $\lambda_1$ ，存在 $n(\lambda_1 , \varepsilon) > 0$ 使得 $\{\lambda_1 , \cdots \cdots , \lambda_n\}$ 決定的誤差在 ε 之內。目前已知在 Ω 是凸區域 (convax) 時，能有效地決定 $\mbox{Vol}(M)$ ，即

$\forall \varepsilon>0 ,\exists n(\lambda,\varepsilon) s.t. \{\lambda_1 ,\cdots\cdots,\lambda_n\}$ determine vol $(\Omega)$ up to ε。

在此提出兩個 open question:

: Question 1. Area $(\partial \Omega)$ 是否可被有限 $\lambda_i$ 決定，當 Ω 是凸區域。亦即 Area $(\partial \Omega)$ 是否可用上述同樣的方法所決定？
: Question 2. 若 Ω 不是凸區域（如 star-shape 星形區域） $\mbox{Vol(\Omega)}$ 是否也可被有限 $\lambda_i$ 決定？

最後提二個類似的結果，一個著名的定理是：

$\begin{eqnarray*} \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 74}}& ... ...\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n, \cdots\}\mbox{(Ball)} \end{eqnarray*}$

則可推得Ω=Ball。

最近 Melas 得到下列有趣的定理：

: Melas: 若 $\lambda_i (\Omega) \sim \lambda_i (B)$ , $1\leq i \leq n(\lambda_i)$ 且 Ω 為 convax，則可得到 $\Omega \sim \mbox{Ball}$ ，亦即存在半徑 r₁, r₂ >0，使得 $B(r_1) \subset \Omega \subset B(r_2)$ 且 $r_2 - r_1 \sim 0$ 。

當把 Ω 為凸集的假設去掉，則 Melas 的結果能否成立呢？這是一個有趣的工作。

　1│2　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：廖俊旻 ∕ 校對：黃怡碧 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002