向量外積與四元數 (第 2 頁)

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向量外積與四元數（第 2 頁）

李白飛

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．原載於數學傳播第十五卷第一期
．作者當時任教於台大數學系
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2. 四元數

三維空間向量及其內積、外積之成為數學物理的工具，大約從19世紀80年代初期開始，在此之前被普遍使用的，則是由 Hamilton 所創造的「四元數」。由於複數在平面上幾何及物理的有效應用，促使人們探索一種三維「複數」的工具。 1843年 Hamilton 創造了形如 $a_0+a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$ 的所謂四元數，其中 a₀,a₁,a₂,a₃ 為實數，i,j,k 則扮演相當於複數中 i 的角色。兩個四元數 $a=a_0+a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$ 與 $b=b_0+b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$ 的和，定義為

$\begin{displaymath} (a_0+b_0)+(a_1+b_1)\vec{\imath}+(a_2+b_2)\vec{\jmath}+(a_3+b_3)\vec{k} \end{displaymath}$

至於乘積則由

i² = j² = k² = -1

與

$\begin{displaymath} ij=k=-ji,\quad jk=i=-kj,\quad ki=j=-ik \end{displaymath}$

及分配律來定義，也就是說

$\begin{eqnarray*} ab &=& (a_0b_0-a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3) + (a_0b_1+a_1b_0+a_2b_3-... ...b_0+a_3b_1)\vec{\jmath} + (a_0b_3+a_1b_2-a_2b_1+a_3b_0) \vec{k} \end{eqnarray*}$

我們可以驗證，加、減、乘、除四則運算對於四元數系照樣可行，就像在複數系中一般，只除了乘法交換律並不滿足。可除性較不明顯，但卻是相當重要的。若 $a=a_0+a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$ ，定義 $\bar{a}$ $=a_0-a_1\vec{\imath} - a_2\vec{\jmath} - a_3\vec{k}$ 為其共軛數，則 $a+\bar{a}=2a_0$ 與 $a\bar{a}$ $=\bar{a}a$ =a₀²+a₁²+a₂²+a₃² 皆為實數。令 $\vert a\vert=(a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2)^{\frac{1}{2}}$ 而稱之為 a 之範數(絕對值)。顯然，若 $a\neq0$ ，則， $\vert a\vert^{-2}\bar{a}$ 為 a 之倒數。

我們若仔細觀察四元數的乘積定義，不難發現向量的內積、外積隱含其中。若 a=a₀+a₁i+a₂j+a₃k，我們稱 $\alpha=a_0$ 為 a 之純量部分(實數部分)， u=a₁i+a₂j+a₃k 為 a 之向量部分(虛數部分)，當 $a=\alpha+u$ , $b=\beta+v$ ，則 $ab=\alpha\beta+\alpha v+\beta u+uv$ ， $\alpha\beta$ 為一純量， $\alpha v$ , $\beta u$ 為向量，然而 uv 是甚麼？

由乘積定義可知 uv =(a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k=-(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)+[(a₂b₃-a₃b₂)i+(a₃b₁-a₁b₃)j+(a₁b₂-a₂b₁)k]，正是 $-u\cdot v+u\times v$ ，因此 $(\alpha+u)(\beta+v)$ $=(\alpha\beta-u\cdot v) + (\alpha v+\beta u+u\times v)$ 清楚地描述四元數的乘法。

因為乘法交換性的缺乏，使得四元數的運算顯得繁而難，以至於向量的內積、外積引進後，四元數就被人淡忘了。然而，四元數的可除性，卻是內積、外積所不及的，譬如說，例 5 的解答，雖簡短卻不容易。然而，就四元數的觀點而言，這個問題只不過是一元一次方程式 $\vec{a}\vec{v} = -c+\vec{b}$ 而已，我們可以立刻解得 $\vec{v} = \vec{a}^{-1}(-c+\vec{b})$ $= \frac{-\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert^2}(-c+\vec{b})$ $=\frac{1}{\vert\vec{a}\vert^2}(c\vec{a}-\vec{a}\times\vec{b})$ 。

: 1. Morris Kline: 《Mathematical Thought from Ancient to Modern Times》.
: 2. Harry Lass: 《Vector and Tensor Analysis》.

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編輯：張觀洋 ∕ 校對：陳文是 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002