漫談布朗運動 (第 3 頁)

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漫談布朗運動（第 3 頁）

李育嘉

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．原載於數學傳播第九卷第三期
．作者當時任教於成功大學應用數學研究所所長
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三、布朗運動的數學模式

首先我們建立 R¹ 上的布朗運動，我們的作法簡單地說是利用對稱隨機漫步，縮小其每一步長度而在單位時間內加速其移動頻率來模擬布朗運動。

假想一個粒子在座標軸上原點為起始點作對稱隨機漫步，每一步位移為δ而每單位時間內移動次數為 r 次，則此粒子在時間 t 時之位置為 $Z_t=\delta W_n$ ，其中 {W_n} 是第二節所談的對稱隨機漫步而且 W₀=0。由 {W_n} 之性質知

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} & \mbox{E}[Z_t] = (p-q)\delta n=(\frac{1}{2}... ...\\ & \mbox{Var}(Z_t) = 4pq\delta^2n = \delta^2rt \end{eqalign}\end{displaymath}$

令 $\delta\rightarrow0$ , $r\rightarrow\infty$ ，使得 $\delta^2r$ 逼近一定數 D（譬如，取 $\delta = Dr^{-\frac1{2}}$ ），由中央極限定理 (Central Limit Theorem)，我們得到

$\begin{eqnarray*} P\{Z_t<\beta\}&=&P\{\delta W_n<\beta\}\\ &\sim&\frac{1}{\delt... ...ta\sqrt{2\pi Dt}}\int^{\beta}_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2Dt}}dx\\ \end{eqnarray*}$

為求簡化起見，我們設 D=1。令 B_t 為 Z_t 之極限隨機變數，則 $\{B_t:,t\geq0\}$ 便叫做布朗運動或衛納過程。由以上之討論，我們嚴格地定義布朗運動如下：

定義一：

令 $\{B(t):,t\geq0\}$ 為一隨機過程且滿足以下三個條件：

B(0)=0
設 $0\leq s_1<s_2<\cdots<s_{n+1}<\infty$ ，則 {B(s_j+1)-B(s_j): $0\leq j\leq n\}$ 為獨立隨機變數族。
對每一 $s\geq0$ , $t\geq0$ ,B(t+s)-B(s) 有常態分配 N(0,t)，換句話說

$\begin{displaymath} P\{B(t+s)-B(s)<\beta\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int^{\beta}_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2t}}dx \end{displaymath}$

其中(1)與(2)皆是繼承 {Z_t} 之性質而來，(3)也表示布朗運動對時間有齊一性。合併(2)(3)之性質，我們稱 B(t) 有平穩獨立增量 (stationary independent increments)。對任意 $a\in\mathbf{R}^1$ ，{B(t)+a} 一般叫做以 a 為起點的布朗運動。 {B(t)} 所在的樣本空間可取 Ω $=\{\omega(t):\omega \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 209... ...t minus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}\omega(0)=0\}$ ，然後定 $B_t(\omega)=\omega(t)$ ，（B_t 與 B(t) 兩個記號通用）。令 I=[a,b]，定義

$\begin{eqnarray*} p(s,x;t+s,I)&=&P\{B(t+s)\in I\vert B(s)=x\}\\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int^b_a e^{-\frac{1}{2t}(u-x)^2}du \end{eqnarray*}$

p(s,x;t+s,I) 稱為 {B(t)} 之轉移函數。顯然，p(s,x;t+s,I) 與 s 無關，因此我們把 p(s,x;t+s,I) 改寫為 p(t;x,I)=p(s,x;t+s,I)。其次若我們定

$\begin{displaymath} p_t(I)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int^b_a e^{-\frac{u^2}{2t}}du, \end{displaymath}$

則顯然，p(t;x,I)=p_i(I-x)。再深入一點討論，考慮一個單位時間內之布朗運動；其樣本空間 Ω 可取為 $\Omega = C[0,1]$ $= \{x(t):x(t)\mbox{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 202}}[0,1... ...s0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}x(0)=0\}$ 。設 $0=s_0<s_1<s_2<\cdots<s_n<1$ ,I_i=[a_i,b_i]， $i=1,2,\cdots,n$ 。令 $E = \{x\in\Omega:x(s_1)\in I_1,\cdots,x(s_n)\in I_n\}$ ，然後定義

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ W(E)=P\{B(s_1)\in I_1,\cdots,B(s_n)\in I_n\} } \\ &... ...cdots +\frac{(u_n-u_{n-1})^2}{s_n-s_{n-1}}]}\} du_1 \cdots du_n \end{eqnarray*}$

W 稱為衛納測度。衛納利用 W 來研究布朗運動，也因此發展無窮維空間 C[0,1] 上的積分理論（參見[3]）。

定義一並未保證軌跡 $g(t) = B_t(\omega)$ 為連續，但可以證明存在一連續布朗運動 $\{\tilde{B}(t)\}$ 使得對任何 t>0， $P\{B(t)\neq\tilde{B}(t)\}=0$ 。

以下我們只考慮連續的布朗運動。

定理四：

$P\{B(t+s)\vert B(u);u\leq t\}=P\{B(t+s)\vert B(t)\}$ 。
E $[B(t+s)\vert B(u);u\leq t]=B(t)$ 。
{B(t)} 停留在任一有界集合之機率為零。
幾乎所有 B(t) 的軌跡皆是處處連續而處處不可微分。

定理四之(1)表示布朗運動為馬可夫過程；(2)說明 {B(t)} 為平賭過程。以上二者皆可由定義一之(2)證明之。第(3)點與隨機漫步之性質(定理二)相似。事實上，若 C 為一正數，則 $\lim_{t\rightarrow\infty}P\{\vert B(t)\vert\leq C\}=0$ 以性質包含(3)。第(4)點說明布朗運動與實際現象相符合，其證明則比較難(參見[2])。

例一：

E $[W(t)W(s)]=\min(t,s)$ 。

證明：

假設 $t\geq s$ ，則

$\begin{eqnarray*} & &\mbox{E}[W(t)W(s)]\\ &=&\mbox{E}[(W(t)-W(s))W(s)+W^2(s)]... ...}[W(t)-W(s)]\mbox{E}[W(s)]+\mbox{Var}[W(s)]\\ &=&0+s=\min(t,s) \end{eqnarray*}$

同理，若 $s\geq t$ ，則E[W(t)W(s)]=t= $\min(t,s)$ 。

例二：

E $[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(u);u\leq s]$ =B(s)²-s。

證明：

利用 {B(t)} 馬可夫性質，我們有

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \lefteqn{ \mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(u);... ...=\mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(s)] \end{eqalign} \eqno{(3.2)} \end{displaymath}$

另一方面

$\begin{eqnarray*} & &\mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(s)]\\ &=&\mbox{E}[(B(t+s)... ...\ &=&t+2B(s)\mbox{E}[B(t+s)-B(s)]-B(s)^2-(t+s)\\ &=&B(s)^2-s \end{eqnarray*}$