方程式求解問題 (第 3 頁)

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方程式求解問題（第 3 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第八卷第四期、第九卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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三、方程式 xⁿ-1=0 的根式解

方程式 xⁿ-1=0 有沒有根式解？方程式 $x^n=a \; (a \neq 1)$ 有沒有根式解？

令 $\zeta_n = \cos \frac{2 \pi}{n} + \sqrt{-1} \sin \frac{2 \pi}{n}$ 。如果 $\zeta_n$ 有根式解（可以用有理數的加、減、乘、除、開方根表示出來），則方程式 xⁿ-1=0 有根式解：因為 $(\zeta_n)$ ， $(\zeta_n)^2$ ， $(\zeta_n)^3$ ，…， $(\zeta_n)^{n-1}$ ， $(\zeta_n)^n$ =1 是其所有的根。如果 $\zeta_n$ 有根式解。則 $\sqrt[n]{a} , \sqrt[n]{a}\zeta , \sqrt[n]{a}(\zeta)^2 , \cdots , \sqrt[n]{a} (\zeta)^{n-1}$ 也有根式解。故 xⁿ=a 有根式解。

若 $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m}$ ，其中p₁,p₂,…,p_m 是相異質數。如果 ${\displaystyle \zeta_{p_1^{\alpha_1}}, \zeta_{p_2^{\alpha_2}}, \cdots, \zeta_{p_m^{\alpha_m}} }$ 有根式解，則 $\zeta_n = (\zeta_{p_1^{\alpha_1}}) \cdots (\zeta_{p_m^{\alpha_m}})$ 也有根式解。

如果 $\zeta_p$ 有根式解，則 $\zeta_{p^l}=\sqrt[{\tiny p^{l-1}}]{\zeta_p}$ 也有根式解。

結論：若 p 是任意質數，且 $\zeta_p$ 有根式解。則方程式 xⁿ=a 也有根式解，其中 n 是任意正整數，a 是任意數。先看幾個例子，試驗 $\zeta_p$ 是否有根式解。

$\begin{eqnarray*} p=2 &,& \zeta_2=-1 \\ p=3 &,& \zeta_3=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2} ... ...ily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 31} } x^4+x^3+x^2+x+1=0 \end{eqnarray*}$

得

$\begin{eqnarray*} && x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0 \\ && (x+\frac{1}{x})^... ...{4}, \\ && \qquad \frac{-\sqrt{5}-1 \pm\sqrt{-2\sqrt{5}-10}}{4} \end{eqnarray*}$

得 $\zeta_5$ 有根式解。同理 $\zeta_7$ 也有根式解。

Lagrange 曾考慮 $\zeta_{11}$ 的根式解問題，但是並沒有解決這個問題。Vandermonde 卻完整證明了 $\zeta_{11}$ 有根式解。Gauss 是第一個證明 $\zeta_p$ 有根式解的人，其中 p 是任意質數。以下我們將證明 $\zeta_{11}$ 有根式解。事實上，只要具備一點基本的數論的知識，不難將這個證明推廣到 $\zeta_p$ 的情形。

我們將證明 $\zeta_{11}$ 有根式解。

令 $\zeta=\zeta_{11}$ ， $a=\zeta_{10}$ 。由數學歸納法，可假設 α 有根式解。考慮以下的預解形，

$\begin{eqnarray*} t_1 &=& \zeta+\alpha\zeta^2+\alpha^2\zeta^4+\alpha^3\zeta^8 +... ...alpha^{10}\zeta^2+\alpha^{20}\zeta^4\cdots + \alpha^{90}\zeta^6 \end{eqnarray*}$

可以檢查出， $(t_1)^{10},(t_2)^{10},\cdots,(t_{10})^{10}$ , $t_2(t_1)^8,t_3(t_1)^7,\cdots,t_9\cdot t_1,t_{10}$ 都是 α 的多項式。因此都有根式解。所以 $t_1,t_2=\frac{t_2\cdot (t_1)^8}{(t_1)^8}$ ， $t_3,\cdots t_{10}$ 也有根式解。可知 $\zeta=\frac{1}{10}(t_1+t_2+\cdots+t_{10})$ 也有根式解。 ⁶

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編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002