姚景星

一、機率簡史 二、古典範例 三、重複試行與正確機率

一、機率簡史

機率論之起源據說是由於投骰子，卡片，錢幣等之賭博遊戲之流行及保險之發生而產生。 其發展之動機是當時商業資本家作如此打賭之交易時認為要依靠占星術不如依靠較為確實可以致富之學術界。

17世紀中葉之 Blaise Pascal（1623∼1662）、Pierre de Fermat（1601∼1665）開始，經 James Bernoulli（1654∼1705）、Abraham De Moivre（1667∼1754）、Pierre Reymond Montmort（1678∼1719）、Thomas Bayes（∼1761）、George Louis Buffon(1707-1788)、Daniel Bernoulli（1700∼1782）、Joseph Louis Lagrange（1736∼1813）等數學者大約完成古典機率論。在當時由於數學史上微積分之發明，機率論亦因而應用此法。古典機率論的內容由組合論進入幾何學的機率論，更與誤差論聯結出現解析的機率論。 在此間由 De Moivre、James Bernoulli 等所展開之古典的推測論中始確立大數法則，更進一步的到 Gauss、Laplace 時發現中央極限定理。此大數法則對古典統計學提供大數觀察之理論基礎，意義甚大。中央極限定理是誤差論之一支柱且成為最小自乘法的背景。當古典機率論將大功告成之際，統計科學方面卻對其基礎大加以批評。Laplace（17497∼1827）對古典機率的立場是所謂先驗的機率論（別名為主觀機率論或直觀機率論），即在同等確實之概念下所有可能之數 (n) 為分母，某事件發生之所有之數 (r) 為分子，所得之分數 ()（此分數稱為頻度）定義為某事件之機率。例如一個均勻之骰子（即各面出現之機會均等亦即同等確實）投一次出現偶數之機率，因所有可能之數為 6 個（1,2,3,4,5,6），偶數發生之所有之數為 3 個（2,4,6），故其機率為 。

古典統計學之奠基者 A.J. Quetelet 欲利用如此之 Laplace 之古典機率論於社會現象，人口現象，犯罪現象時，發現同等確實之條件相當難以適用。因此意識到 Laplace 之頻度說之機率論在應用上不太適合。亦即在不是同等確實之機率現象是無法適用，此等傾向可在下列著中釋出端倪：

(1) Theodor Fechner（1801∼87）著《統計集團說》

(2) Heinsich Bruns（1848∼1919）著《統計集團概念理論之機率論》

此傾向乃繼承如 Simeon Deins Poisson（1781∼1840）之輩所詳論之經驗及機率之關係之思想。例如於保險數理，某年齡層之死亡率有多少時表示如下之意義：

(1)對於某年齡層可由統計的比例數而得。（例如民國 58 年初時年齡 20 歲有 l₂₀ 人，在年底生存者為 l₂₁ 人，即該年 20 歲之死亡率為比例數（ ）。

(2)此統計的比例數對多年度求出而互相作比較。（例如如上同樣再作民國59、60、61、62、63年之各該年 20 歲之死亡率）。

(3)其結果若是安定時將來在如此之事情可經驗同樣之比例數（死亡率）。

由一般的立場，此場合人以試行之概念把握，即某層的人抽取多人相當於反復試行多次。集這些試行而觀察亦即舉行集團的大量觀察，觀察集團時可得到下列二性質，即集團的規則性及關於個個之非決定性。（例如上述20歲之死亡率時我們要得是20歲集團之死亡率之集團的規則性）。機率即為如此之集團之規則性之一個表現。但是此思想以數學明確的規定時有很多困難。

R. Von Mises（1883∼）提出很出名之經驗的機率論，其理論在此不詳述，簡單的說其機率由極限頻度定義，即試行 n 次中事件 A 出現 r 次時頻度 之極限值，即 定義為 A 之機率。 其理論在數學上亦不夠嚴密而受到批評。因當時關於機率論之基礎籠罩一片烏雲，故統計學的理論根據不夠明確之時代持續多時，一直到1930年代由 A.N. Kolmogorov 所建立之測度論的機率論才獲得解決。此理論如下：

設 Ω 為樣本空間，F 為 Ω 的子集所成之非空 σ 體且滿足下列公理

公理一

對各 A F，唯一存在一非負實數 P(A)（A 稱為事件，P(A) 定義為事件 A 之機率）

公理二

P(Ω)=1

公理三

A₁,A₂,… F 且對各 , 時

則 (Ω,F,P) 稱為機率空間。