機率之回顧 (第 3 頁)

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機率之回顧（第 3 頁）

姚景星

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．原載於數學傳播第一卷第三期
．作者當時任教於台大數學系
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三、重複試行與正確機率

考慮與反復試行之理論有關連之重復試行。這是同一試行反復施於具有會變化之要素之不相等之條件上。例如一連隊之人給他們選擇 2 位之整數一個，若對此問題沒有理解選錯時將這個不考慮。

由應用重復試行，可用不太知道之機率及知道大概之近似機率以決定精密度非常高之機率，其例如下：整數 a 不知是偶數或奇數，設其為偶數之機率為 $\frac{1}{2}+\epsilon$ ，奇數之機率為 $\frac{1}{2}-\epsilon$ ， $(\frac{-1}{2} \leq \epsilon \leq \frac{1}{2})$ ，整數 b 亦一樣只將 $\epsilon$ 改為 $\epsilon'$ ，此時對數 a+b 如何？若 a,b 均為偶數或均為奇數時，此數 a+b 為偶數，因此 a+b 為偶數之機率為

$\begin{displaymath} (\frac{1}{2}+\epsilon)(\frac{1}{2}+\epsilon') + (\frac{1}{... ...lon)(\frac{1}{2}+\epsilon') = \frac{1}{2}+2\epsilon\epsilon' \end{displaymath}$

再考慮上述連隊，設其總人數為 n 人，各人選擇一個 2 位之整數，此 n 個整數和為偶數之機率為

$\begin{displaymath} P=\frac{1}{2}+2^{n-1}\epsilon_1\epsilon_2\cdots\epsilon_n \end{displaymath}$

在此如上第 i 個人取到偶數之機率為 $\frac{1}{2}+\epsilon_i$ , i=1,2,…,n， $\epsilon_i$ 為未知數，但其絕對值小於 $\frac{1}{2}$ 是沒有問題的。實際上差不多確實的可以說比 $\frac{1}{2}$ 更小的多。當然某些人有選偶數之傾向，某些人有選擇奇數之傾向，但不會例如 6 人中 5 人均選偶數如此極端之傾向。因此我們承認 $\vert\epsilon_i\vert\leq\frac{1}{4}$ , i=1,2,…,n 時，

$\begin{displaymath} \vert P-\frac{1}{2}\vert\leq2^{n-1}(\frac{1}{4})^n = \frac{1}{2^{n+1}}<\frac{1}{2^n} \end{displaymath}$

若 n=1000 即連隊之總人員為 1000 名時， 2¹⁰⁰⁰<10³⁰⁰，則

$\begin{displaymath} \vert P-\frac{1}{2}\vert<\frac{1}{10^{300}} \end{displaymath}$

亦即 1000 個人選擇所得整數和為偶數之機率 P 與 $\frac{1}{2}$ 之誤差小於 $\frac{1}{10^{300}}$ ，如此我們可決定誤差極端小之機率 P。

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編輯：黃信元

最後修改日期：4/26/2002