數學主流的理論，沒有一樣是空穴來風，沒有一樣是一批偏窄數學家們閉門造車的產物。每一支每一節都起源於一些問題，一些取諸自然引自社會的活生生的問題。當一堆同一類型的問題接二連三反覆出現，數學就逐漸建立一套足以處理這一類問題的普通方法。為要保證普通方法的有效與正確，常需輔以適當的論據，這種有了可靠論據的數學方法，便構成數學理論。
由於它所要處理的對象，不祇是某一特殊的實際問題，它的表達便須具有相當範圍的普遍性。也就是說，它的理論看起來便要「抽象」。然後社會在進步，亟待解決的實際問題日益增多，根據各種問題的類型所製作的各套方法，名目漸繁。於是又須整理出來更普遍的方法用以概括原來的各套方法，這樣纍次築積，築積愈久，數學的理論便愈形抽象，其面目也愈形可憎。
假設數學理論取諸實際還諸實際的過程，每幾年就能完成一個循環，那麼人人都可以明白數學家在做些什麼，而每一位數學家，包括那些書呆子，也都可以明白自己在做些什麼。這時自然不會產生理論與實用之爭。「數學實用化」也就早被兌現。
但事實並不是這樣，幾次數學家要整理出一套安全有用的普通方法，都費時幾十年甚或幾個世紀。並匯集很多數學家的心力，經一點一滴累積下來，才跨出一個腳步。就是這段累積心力的過程中，很多人看不到前面實際問題的起源，也看不到後邊還給自然的反饋。以為所做的工作只為數學而數學。就因這樣，理論數學才有 「純粹數學之譏」，而恃以對「實用數學」分庭抗體。
事實上，理論數學的發展是為了應用，只是它的應用是「長遠應用」而一般的實用數學則為「立即應用」。「理論」與「應用」像左右兩腳交替踩著走路。今天的應用以昨天的理論為基礎。明天又有了理論來澄釋今天的應用，又推廣了今天的應用。
牛頓為了在力學上的應用，取了函數的微分，當時的數學理論無法支持他取牛頓商的極限作為速度。這個力學上的實際問題刺激了數學局部化理論體系的發展，許多人不能了解這事，卻因此譏嘲數學理論不管用，總遲遲來在物理應用之後，沒想到就是有二項展開與解析幾何成熟的理論數學在撐腰，牛頓才能從刻卜勒觀察計算出萬有引力定律，才能做出微積分!
同樣，廿世紀初笛拉克 (Dirac)，將 δ 函數應用之初，數學的超函數論還沒有影子。δ 函數本身都不是正規數學所容忍的函數，理論數學在這階段又備受挖苦。固然超函數論因 δ 函數而發展，但 δ 函數的發展卻建立於當時已經健全了的積分理論!
再以具體的例子來說明數學「理論」與 「應用」的關係。一個學工程或經濟的人，面對一道他的專業所關心的微分方程式，他只須用盡一切辦法甚或不計代價（例如餵到電算機中，吃掉很多錢），去猜或去找出這道方程式的解，他要的是「立時應用」。但在一個數學家的立場，當實際問題出現過幾次類似的微分方程式之後，他便有義務將這些微分方程加以普遍化，尋求簡潔而共通的方法。經這樣整理得到的理論，為的是長遠打算。以後誰在實際問題中碰到與這樣類似的微分方程，便可從數學家整理出來的理論 「內容」中，拿出來套用。縱若條件不盡適合，不能直接套用，其原有理論中所提供的「方法」，也可作為借鏡，拿來尋求解決新問題的方法與答案。所以說：「理論數學」是長遠應用，又說 「理論」是 「應用」的基礎。看不到這些事實才會冒然咬定「理論」就是「不實際」。
當一個健全的數學家致力於抽取同類問題的特徵，將各套方法普遍化之時，一般人很容易以為他的工作與實際脫節。要他的方法普遍有效，又要他工作的每一點滴都生動而實用，這是歷來數學家排不開的困窘。不是他在抗拒實用，是他有著本質上的困難。
我們不能否認在數學實用的方向上，某些特殊時代曾出現過偏差，某些數學家個人曾認識不清而在 「為數學而數學」的象牙塔裏迷失。我們不能贊同某些數學家為要持續自己的迷失，所叫出的托詞:「今天這些數學理論，誰能擔保那天不會變成有用？」
但當我們努力在提倡數學實用化的時候，要十分明白數學特有的本質，明白理論數學所具長遠應用的深意。若是只因理論數學不作立即應用，便貶低理論數學的地位，我們將離根離枝，像四處飄盪的葉子，失去營養，而靜待死亡。
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