N.Ya. Vilenkin
柯惠美

特殊的旅館，（或沈默者伊翁的一千零一次旅行）

所有數學導源於無限的觀念，這說法並不誇大。一般情形，在數學上我們對個別的個體（數，幾何圖）沒有興趣，但對這些個體所組成的集體倒有興趣：例如所有的自然數，所有的三角形等等。但這樣的組合是由無窮多個個體所組成的。 ^譯者註

為了這個理由，數學家與哲學家常對無限的觀念感到興味盎然。當人們知道任何自然數都有它的後繼者時（也就是說由自然數所排成的數列是無限的），就對無限的觀念激起了興趣。然而為了了解無限，即使是最初的設想都導致很多的矛盾。

舉個例說，希臘哲學家齊諾 (Zeno) 用無限的觀念證明運動是不可能的！他說一隻箭要射到一個目標，它必需先飛過前一半的距離，但要飛完前一半又需先飛過前四分之一的距離，前八分之一等等。但這種一半又一半的過程是永無止境的（在這兒無限觀念產生了），於是他說這隻箭就永遠無法離弓了。他證明的方式與證明「善跑的阿紀利 (Achilles) 永遠無法追過慢步的烏龜」完全一樣。

由於這些矛盾與詭辯，古希臘數學家拒絕做任何與無限有關的研究，並把它摒棄於數學論述之外。他們假設所有的幾何圖形由有限個極小，看不見的小部分（原子）所組成。在這假定之下，要把一個圓分成相等的兩半是不可能的，因為圓心必需屬於其中一半，但這就與兩半相等的條件相違背。

在中世紀無限這問題所以引起興趣，主要是與爭論「能坐上同一針尖的天使是有限個或無限個」有關。比較廣泛的使用無限觀念，還是開始於十七世紀「數學解析」創始時。諸如無窮大量與無窮小量在數學申論的每一步驟都被用上。然而無限集合（即含有無窮多個元素的集合）在當時並未研究。所研究的都是些可變量，它可變得大於任何所給的數。這些量被稱為「傾向於無窮的大」，意思是說它可隨意大。

一直到十七世紀中葉，無限集合的研究才開始出現在解析上。無限集合數學理論的創始者是一位博學的捷克數學家波查諾 (Bolzano) 和德國數學家堪托 (Cantor)（不幸的是波查諾主要的工作在他死後數年才發表）。奇怪的是兩位創始者都精通中世紀的經院哲學。兩位終能改進經院哲學，進而促使集合論成為數學重要的一門。

波查諾與堪托的重要成就在於探討無限集合的性質；有限集合的性質早為他們的前輩所熟知。波、堪兩位發現有限集合與無限集合的性質完全不同：許多運算在有限集合上是不可能，但在無限集合卻易如反掌。舉例說吧，假定每個房間不能多於一個房客，想要再一個已客滿的旅館再安頓一個房客，辦得到嗎？當然辦不到，因為旅館的房間數量有限！但若房間的數量無限是否就辦得到？這種旅館出現在一本書上，書名叫做《星際送奶者，沈默者伊翁》。這是波蘭幻想家史坦尼斯羅．蘭所著。書中描寫星際旅行家沈默者伊翁的英雄事跡。現在讓我們聽聽作者說些什麼吧。

我回家很遲，是安德羅米達星雲俱樂部的聚會拖到深更半夜之故。這一整夜我被惡夢所困擾。我夢見吞下一隻龐大的怪物，然後又夢見再度到行星度爾第托夫，在那些可怕的機器當中，我不知道如何躲開那個會將人變成六角形的機器；然後……。突然一個電話使我驚回現實，那是我的老朋友兼星際旅行伙伴大蘭脫教授打來的。

他說：「親愛的伊翁，有一個緊急的問題發生了，天文學家發現宇宙中出現一個奇怪的物體──一條神秘的黑線由一個銀河系延伸到另一銀河系。沒有人知道到底是怎麼回事，即使在火箭上裝上最好的望遠鏡和無線電望遠鏡也無法探知這個謎。你是我們最後的希望了。快朝著星雲 ACD-1587 的方向起飛吧」。

次日我從修理廠取回我的舊光子火箭，同時裝上時間加速器和電子機器人。這機器人懂得宇宙中所有語言和所有有關星際旅行的故事（在旅途中保證能使我消遣至少五年之久）。於是我就起飛執行我的任務了。

正當機器人講完它所有的故事而開始重複敘述的時候（再沒有比聽一個電子機器人重複老故事十次更難受的事了），我旅程的目標就顯現在不遠的地方了。那些附有神秘緩緩的銀河系已落在我身後，呈現在眼前的是……宇宙大飯店。前些時我造了一個小行星，供那些星際間漫遊的流亡者住宿。但他們把它給拆掉了，再度流離失所。後來他們決定不再遨遊陌生的銀河系，於是蓋起了一棟豪華宏偉的建築物──給宇宙中所有旅遊者的旅館，叫做宇宙大飯店。這飯店橫跨幾乎所有的銀河系。我說「幾乎所有」是因為流亡者已經把少數荒蕪的銀河系解體成零零落落的星群。

大飯店裝璜得很神奇。每間房裝有冷熱電漿水龍頭。夜裏休息時，假如你願意的話還可以把自己分解成電子，早上則有侍者來把你的原子組合成原來的你。

但飯店最重要的特色是有無窮多個房間。流亡者希望從此以後不會再聽到那令人煩惱的一句話「沒有空房間」，這話從一開始漫遊就困擾著他們。

即使這飯店有這特色，我的運氣還是不佳。一走進飯店前廳，就看到指示牌上寫著：宇宙動物學會的代表在一百二十七層樓登記。

由於宇宙動物學者來自所有銀河系，而銀河系又有無窮多個，於是所有的房間都被學會出席者所占滿，因此沒有空房給我。管理員試著說服某些代表讓我與他們住在一起。但當我發現願意的人中，一個呼吸的是氟氣，另一個則喜歡把室溫調到 860℉ 的環境時，我只好婉謝他們的雅意。

幸好董事長也是個流亡者，他還記得我給他和他的同胞的恩惠。他要想辦法安插我一個位置，因為在星際太空中過夜是會得肺炎的。沈思片刻之後，他轉向管理員：

「把他安置在一號房」。

「一號房的房客又安置到那裏呢？」

「把他遷到二號房。二號房的房客遷到三號房，三號房的到四號房，依此類推。」

就在此時我才開始領會這旅館的不尋常特性。假設這旅館僅有有限個房間，則最後房間的房客務必被迫搬出而住到星際太空去。但就因為旅館有無限多個房間，所以我能搬進去而不剝奪任何宇宙動物學家住旅館的機會。

第二天早晨當我發現我必需遷到第一百萬號房時，我也不感到驚訝了。很顯然的，那是因為又有 999,999 位客人要住進旅館。這些遲到者是從銀河系 VSK-3472 來的宇宙動物學者。第三天當我付旅館費時，很驚訝地發現那裏排了一條長龍，從管理員的窗口直排到馬吉芝的雲層邊消失。當時我聽到一個聲音說：

「我願意用兩枚安德羅米達星雲的郵票換一枚西利爾絲的郵票。」

「誰有宇宙時代第五十七年的鄂爾卑安郵票？」

我迷惑的問管理員：

「這些人是誰？」

「他們是星際集郵家。」

「他們人很多嗎？」

「無窮多──每一銀河系一個代表。」

「但是你如何替他們找到房間？再說，宇宙動物學家要到明天才離開呢！」

「我不知道；我正要為這事去請教董事長幾分鐘。」

然而這次的問題更加難了。幾分鐘的討論延長到一小時。最後管理員終於離開董事長辦公室著手安排房間。首先他請一號房客搬到二號房。我感到很奇怪。因為根據我自己的經驗，這樣的調動只能空出一個房間而已，然而他卻必需空出無限多房間給這些多至無窮的集郵家。正疑惑中只聽到管理員繼續下令：

「把二號房客安置到四號房，三號房客到六號；照這原則，n 號房客遷到 2n 號房。」

現在我了解他的計劃了：這計策是把無窮多的奇數房空了出來，就可以安頓集郵家於奇號房。

於是所有偶數房都住著宇宙動物學家，奇數房則由集郵家所住。（我沒提到自己。是這樣的；經過三天的認識，我與宇宙動物學家處得非常友好，他們就選我為他們學會的榮譽代表；因此我也必需與他們同時遷移。我由一百萬號移到兩百萬號房）。我有一位集郵的朋友排在隊伍的第五百七十四位，他被編入一千一百四十七號房。一般說來，第 n 位集郵家會被編到 2n-1 號房住。

次日房荒情況緩和──宇宙動物學學會結束。動物學者都起程回家，我也搬到董事長公寓的空房住。但是對旅客有益的事不見得會使管理者高興，幾天之後我那慷慨的主人變得很憂鬱。

「有什麼困難嗎？」我問他。

「有半數房間都空著。我們將無法完成經濟計劃。」

事實上我並不太了解他所謂的經濟計劃；終究他也收到無窮多房間的收費。儘管如此，我還是給他一些建議：

「嘿，為什麼不把旅客移動一下，使他們緊挨著住，以便把所有房間都住滿。」

這倒是比較容易辦了。集郵家只住在奇數號房：一、三、五、七、九等等。讓一號房客不動，把三號房客遷到二號，五號遷到三號，七號遷到四號等等。最後即使沒有新旅客到來，所有的房間又重新被住滿。

但這並不能消除董事長的憂愁：據說是為了下面的事發愁；流亡者蓋了宇宙大飯店還不滿足，永不疲乏的建築商又蓋了無窮多的旅館，每一旅館又有無窮多房間。為了造這些旅館，他們把好多的銀河系解體，以至於銀河際的平衡受到干擾，這可能導致嚴重的後果。於是他們受命除了我們的大飯店外，其他旅館全部拆掉，並把所用的材料歸還原處。但當所有的旅館（包括我們的）都客滿時，要執行這道命令是很難的。董事長受命把無窮多旅館的旅客安置到我們這個早已客滿的飯店，而每一旅館又有無窮多旅客！

「我已夠受了！」董事長叫喊著。

「首先我在早已客滿的飯店安插了一個旅客，然後是 999,999，之後甚至於是無窮多個旅客；現在他們又要我設法讓無窮多個無窮多旅客在這兒住。不，這飯店不是橡皮做的；讓他們去安排吧！」

但是命令就是命令。他們必須在五天內準備就緒，以便容納新旅客。在這五天中飯店裏沒人工作著──每一個人都在絞盡腦汁想辦法解決這問題。於是飯店裏公佈了一個懸賞──若有人提供解決方法，可免費得到一個銀河系旅行。但所有提出的方法都因不可行而不被採納。例如一個正在受訓中的廚師曾作如下的建議：讓第一號房的房客原地不動。把第二號遷到一千零一號房，第三號遷到第二千零一號等等，然後把第二旅館的房客搬入二號，一千零二號，二千零二號等等。第三旅館的搬入三號。一千零三號，二千零三號等等。但這方法不受採納，因為照這方法，則第一千零一個旅館的旅客就不知要遷到那兒去；其實前一千個旅館的旅客就占據了所有的房間。這個辦法讓我們聯想起一伴事：羅馬參議員曾提議將九月的名稱改為梯比留斯 (Tiberius)，以示對皇帝的敬意（前兩個月已採用 Julius 與 Augustus 兩位皇帝的名字），皇帝一聽這提議，隨口就問參議員說：「那麼你們拿什麼來表示對第十三位凱撒的敬意呢？」

飯店的簿記員有一個較好的變通辦法。他建議我們利用幾何級數，重新安排旅客如下：第一旅館（即我們這飯店）的旅客安排在二號、四號、八號、十六號、三十二號房間等等（這些號碼形成公比為二的幾何級數）。第二旅館的旅客則安置在三號、九號、二十七號、八十一號房間等等（這些成公比為三的幾何級數）。他建議我們把某地旅館的旅客依此法安排。於是指導員就問他：

「我們是否把第三旅館的旅客安置在那些房間。使其號碼形成以四為公比的幾何級數？」

「當然，」簿記員回答。

「這方法也解決不了問題；因為我們已把四號房分給第一旅館的一個旅客，我們又將把第三旅館的第一位旅客分到那裡呢？」

輪到我講話了；他們讓我在太空學術機構學習五年的數學終於沒有白費。

「用質數。把第一旅館的旅客安排在二號、四號、八號、十六號，……，第二旅館的在三號、九、二十七號、八十一號，……，第三旅館的在五號、二十五號、一百二十五號、六百二十五號，……，第四旅館的在七號、四十九號。三百四十三號，……，」

「這樣就不會再發生兩個旅客被安排在同一個房間的事了嗎？」指導員問。

「不會的，因為兩個質數的任何乘方都不相等；也就是說，假如 p, q 為兩個相異的質數，而 m,n 為兩個自然數，則 。」

指導員同意我的說法。但很快的他改進了我所提的方法而只用 2, 3 兩個質數。他建議把第 m 個旅館的第 n 個旅客安排在 2^m 3ⁿ 號房間。這個方法行得通，因為假如 或 ，6 則 。於是就不會有兩個旅客被安排在同一房間了。

每個人都滿意這個建議。大家都以為無法辦到的問題終於得到了解答。但出乎意料的，指導員與我都沒得到獎賞。因為假如根據我們的辦法，則有太多的房間將是空的（根據我的辦法，則六號、十號、十二號以及所有不是某一質數的乘方的房間都沒人往，而指導員的方法則使所有號碼不是 2^m 3ⁿ 形式的房間空著）。有一位集郵家提議一個最好的辦法。這位集郵家是天鵝銀河系數學研究院院長。

他建議我們列表。把旅館的號數依次排在列上，而房客的號數則排在行上。例如第四列第六行上所排的是第四旅館的第六房客號數。下面就是這個表（其實只列了左上角的部分，因為若要全部列表，則需用無限多的行和列）：

「如何安排？」指導員並不了解他說的方法。

「用正方形。例如把一號房安排給 (1,1) 旅客，也就是第一旅館的第一旅客；二號房給 (1,2) 旅客，就是第一旅館的第二旅客；三號房給 (2,2) 旅客，即第二旅館的第二旅客，而四號房則給 (2,1) 旅客，即第二旅館的第一旅客。於是左上角邊長為二的正方形上的旅客都安排妥當。然後才把 (1,3) 的排在五號房，(2,3) 的排在六號房，(3,3) 的排在七號房，(3,2) 的排在八號房，(3,1) 則排在九號房（這些房間排滿了邊長為 3 的正方形上的旅客。）也就是依下面的箭頭方向安排：

這個設計被公認為最好的──所有旅館的旅客在我們的飯店都會有房間住，同時這飯店也不會有空房。於是這位集郵數學家得到了獎賞。他決定到 LCR-287 銀河系去旅行。指導員設宴慶祝這個成功的解決方法。所有旅客都被邀參加宴會。主人安排每個人一個坐位。但偶數號的房客因遲到半小時而找不到位置坐，於是他們得等大家把坐位調整後才能入座（當然不另加椅子）。後來當冰淇淋上桌時，卻發現每人有兩份冰淇淋。事實上廚子只準備每人一份；我希望讀者現在該會了解這到底是怎麼一回事了。

宴會完後，我坐上我的光子火箭，起程回地球。我必須告訴地球上的天文學家，宇宙中新存在的天體。除此之外，我還要請教一些有名望的數學家和我的朋友大蘭脫教授，有關無限集合的性質。