Kolmogorov 在莫斯科大學培養了許多數學家，其中不少人已成為國際上的著名學者，這一點廣為人知。他還熱心於高中的數學教育，自己親自寫講義，對數學教育所應有的姿態作了深刻的思考。Kolmogorov 60歲壽辰時（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了題為「教育家 Kolmogoro」的講演。下面參考此文講述一下 Kolmogorov 的數學教育論。 蘇聯的教育制度與日本稍有不同，為小學（7∼10歲）、初中（11∼14歲）、 高中（15∼17歲）、大學（18歲∼20歲），在大學裡數學專業與物理專業在一個系（稱作數學物理系）裡。 高中相當於日本的高中2年級到大學1年級， 大學相當於日本的大學2年級至碩士研究生。 有些類似於日本的舊制高中和大學，大學畢業時要寫論文獲取學位， 相當於日本的碩士學位。 博士學位授給大學畢業後寫過許多創作論文的特別優秀的學者。

Kolmogorov 認為，有些家長和教師企圖從10歲∼12歲左右的學生中挖掘有數學才能的孩子， 這樣做會害了孩子，但是孩子到了14∼16歲時，情況就不一樣了。 他們對數學物理的興趣已很清楚地表現了出來， 根據 Kolmogorov 在高中教授數學物理的經驗， 大約有一半的學生認為數學物理對自己僅有很小的作用。 對於這些學生應該安排簡單內容的課程。這樣， 另一半的學生（並不一定他們都要搞數學物理專業）的數學教育就可以更有效地進行。

高中時將數學物理系、工程系、生物農醫系、杜會經濟系等各專業分開為好。 各系的主要學科的教授時間可稍稍增加一點（如數學1小時、物理1小時等）， 即使這樣效果也是非常顯著的。各專業系的教育可以使學生增強目的意識， 而不至於影響有寬度的一般教育。革命初期提出的「統一勞動學校」的口號， 並不否定個人能力的開發與特殊訓練，而只是意味著廢除階級意識的學校， 消除貧苦人面前的障礙。

數學需要特別的才能這一說法在很多情況下是過於誇張了。 數學是特別難的科目這一印象可能是產生於笨拙的、極其教條的教學方法。 如果有好的教師和好的教科書，正常的平均程度的人的能力足以消化高中數學， 並進一步理解微積分的初步知識。

然而，高中生在選擇數學作為上大學的專業時， 自然應測驗一下自己對數學的適應性。實際上，在理解（數學的）推論、 解決問題、或作出新的發現上，其速度、容易程度和成功度是因人而異的。 在數學專業教育中，應選擇在數學領域出成就的可能性大的青年人。

什麼是對於數學的適應性呢？Kolmogorov 總結為以下三點：

(1)算法能力：即對於複雜式子作高明的變形， 對於用標準方法解不了的方程式作巧妙的解決的能力（僅記住許多定理、 公式是不行的）。

(2)幾何學直觀：對於抽象的東西，能夠在頭腦中像畫畫一樣描繪出來並加以思考。

(3)一步一步地作邏輯性推理的能力：例如能夠正確地應用數學歸納法。

僅有這些能力，而對研究題目不抱有強烈的興趣、 不作持久不斷的研究活動的話，還是起不了什麼作用。

在大學的數學教育中，好的教師又是什麼樣的呢？

(i)講課高明。如用其它的科學領域的例子來吸引學生。

(ii)以清晰的解釋和寬廣的數學知識來吸引學生。

(iii)善於作個別指導。清楚每個學生的能力，在其能力範圍內安排學習內容， 使學生增強自信心。

對於數學物理系的學生的數學教育，除了常規的課程， Kolmogorov 特別強調了以下兩點：

(i)使學生能夠把泛函分析作為日常工具那樣運用自如。

(ii)重視 practical work。

我最初對這個意思不大明白， 最近見到一位曾經在莫斯科大學接受過 Kolmogorov 的指導的先生， 便詢問了一下，其意思可能是這樣的， 例如對於微分方程式給出具體的係數和邊界條件（每個學生不同）， 然後讓學生考察方程式的解的性質。

學生在開始搞研究的時候， 首先必須使其樹立起「自己能夠搞出點名堂」的自信心。 因而在布置研究課題時，不但要考慮「這樣題目的重要性」， 還應考慮「這個研究是否能提高學生的水平」，「是否在學生的能力範圍內， 而且需要作最大程度的努力才能解決的問題」。

以上就是 Kolmogorov 的數學教育論的概略。Kolmogorov 不僅是偉大的數學家，也是偉大的教育家，也許說是偉大的思想家更合適。