瞭解 Kolmogorov 的數學觀的最好的資料，大概要屬蘇聯大百科辭典中他所執筆的「數學」部分吧。 已經出了英文版，我讀了英文版，與原文（俄語）比較，英文版稍微縮略了一些，在這篇文章中，他先闡述了其數學觀，然後通述了自古至今的數學史，並且從他的數學觀出發，詳細描述了這個歷史的各個階段，它可以說是為數學家、科學家們所寫的數學史。我饒有興趣地一口氣讀完了全篇。要說明 Kolmogorov 的數學觀，不僅應當看這篇文章的開始部分，也應當參照占該文大部分的數學史，但由於篇幅及時問的限制，我僅將文章的開始部分簡要介紹如下。

根據 Kolmogorov的觀點，數學是現實世界中的數量關係與空間形式的科學。

(1)因此數學的研究對象是產生於現實中的。 然而作為數學加以研究時，必須離開現實的素材（數學的抽象性）。

(2)但是，數學的抽象性並不意味著完全脫離於現實素材。 需要用數學加以研究的數量關係與空間形式的種類，應科學技術的要求， 是不斷增加著的。因此上面定義的數學內容在不斷地得到豐富。

數學與諸科學：數學的應用是多種多樣的，從原理上講，數學方法的應用範圍是無邊際的，即物質的所有類型的運動都可以用數學加以研究。但是數學方法的作用與意義在不同情況下是不同的。用單一的模式來包羅現象的所有側面是不可能的。認識具體的東西（現象）的過程中總是具有下面兩個互相纏繞的傾向。

(1)僅將研究對象（現象）的形式分離出來， 對這個形式作邏輯上的解析。

(2)弄清與已經確立的形式所不相符的「現象的方面」， 向具有更多的可塑性，更能完整地包含「現象」的新的形式轉化。

如果在研究的過程中必須時刻考察現象的本質上新的側面，因而研究中的困難主要體現在上面的(2)的話。這樣的現象的研究（如生物學、經濟學、人文科學等）中，數學方法就不是主要的。在這種時候，對現象的所有方面的辨證分析會由於數學形式反而變得含糊。

與此相反，如果用比較簡單的、穩定的某種形式便可以把握研究對象（現象），並且在這個形式的範圍內產生了在數學上需要加以特殊研究（特別是需要創造新的記號和計算法）的困難而複雜的問題時，這種現象的研究（如物理學）則在數學方法的支配圈內。

做了這些一般性的論述後，首先詳細說明了行星運動完全是在數學方法的支配圈內， 在這裡數學形式是對於有限質點系的牛頓的常微分方程。

從力學轉向物理學，數學方法的作用幾乎不減， 但應用中的困難明顯增加。在物理學中， 幾乎沒有不必使用高級數學技術（如偏微分方程理論、泛函分析） 的領域。但是研究中出現的困難往往不在於數學理論的推導過程中， 而在於「為運用數學所作的假設的選擇」和 「由數學手段所得結果的解釋」中。

數學方法具有包含從考察的某個水平開始，向更高的、 本質上新的水平轉移這樣一個過程的能力。 這種例子在物理理論中是可以見到許多的： 擴散現象便是一個古典的好例子。從擴散的宏觀理論 （拋物型偏微分方程）向更高的微觀水平的理論 （用獨立的隨機過程來描述溶液中粒子隨機運動的統計力學）轉移， 從後者出發運用大數定律，可導出把握前者的微分方程， Kolmogorov 對此種情形作了更加詳細具體的說明。

同物理學相比，在生物學中數學更處於從屬地位。 在經濟學和人文科學中的，這種情況就更加突出了， 在生物學和杜會科學中數學方法的應用主要是以控制論的形式進行的。 在這些學科中，數學的重要性以輔助科學── 數理統計學的形式保留幾分，但在杜會現象的精確分析中， 各個歷史階段中的本質性差異的側面是占主導地位的， 因而數學方法常常要靠邊站。

數學與技術、算術、初等幾何的原理， 正像古代數學史所表明的那樣，是從日常生活的需要中產生的。 其後的新的數學方法或思想也是受到天文學、力學、 物理學等滿足實際需要的學科的影響而產生的，但是數學與技術 （工程學） 的直接聯繫至今常常是通過已有的數學理論在技術中的應用這樣一個形式來實現的。 當然還須指出， 根據技術上的要求而直接產生新數學的一般理論這種例子也是有的 〔例如，最小二乘法（測地），算子法（電氣工程）。 作為概率論的新分支的信息理論（通信工程），數理邏輯學的新分支， 微分方程的近似解法，數值解法等〕。

高度的數學理論使得計算機科學的方法急速地發展起來。 而計算機科學在解決原子能利用， 宇宙開發中的問題等大量的實際問題時扮演了主要的角色。

Kolmnogorov 在後面的數學史的敘述中也總是注重數學與其它諸學科的關聯， 同時也高度評價了由於數學內部的要求而推動的純數學的發展。 例如，在實際問題的應用這方面，古代希臘要落後於巴比倫， 然而在數學的理論方面，希臘遠遠領先於巴比倫。他尤其贊頌了「存在無限多個素數」、 「等腰直角三角形的斜邊與另一邊之間不存在公約數」等偉大發現。 按著他詳細說明了實際主義的巴比倫數學與理想主義的希臘數學是如何經過中世紀的阿拉伯數學， 發展至歐洲的近代數學的過程，非常有趣。我從這個歷史中學到了許多史實。例如， 我以前知道變換群這個概念是在18世紀後半葉至19世紀初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式論）等有效地使用了的。但我還想知道現在大學裡講授的（抽象） 群的定義到底是由誰給出的。根據 Kolmogorov 的數學史， 這個定義是由 A. Cayley 在19世紀中葉所給出的。

總之，Kolmogorov 的數學觀是由他的數學上的獨創性， 對於數學應用所抱有的激情及對於數學發展的歷史所具有的洞察。這幾個方面所組成的，難以用一言來概之。如果一定要用一句話來總結，也許可以這樣說： Kolmogorov把數學看成為可以無限制地成長的「生物體」。