三、圓與三角學

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．作者任教於香港科技大學數學系

《基礎幾何學》

三、圓與三角學

項武義

正弦、餘弦函數的基本性質
三角定律
習題

在各種各樣的平面形之中，圓是最為完美對稱者，而三角形則是最為簡單者。所以在平面幾何的研討中，圓和三角形理所當然地是其精要之所在。例如定量平面幾何中的基本定理，首推三角形的面積公式、相似三角形定理和勾股定理，即

$\bullet$ 面積公式：三角形面積 = $\frac{1}{2}\hbox{ {\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH23} }\times \hbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \cH242}}$

$\bullet$ 相似三角形定理：設 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'B'C'$ 的三內角對應相等，則其三對對應邊成比例，即

$\begin{displaymath} \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}= \frac{\overline{AC}}... ... \cH78}\z{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH170})} \end{displaymath}$

$\bullet$ 勾股定理：直角三角形的邊長滿足

$\begin{eqnarray*} && \overline{AC}^2+\overline{BC}^2=\overline{AB}^2\quad \hbox... ...t \cH253}\z{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH106})} \end{eqnarray*}$

本章將以上述三者為基礎，研討圓與三角形的解析幾何，其所得之基礎理論也就是三角函數的基本性質和三角定律。正弦、餘弦函數是一對起源于圓周運動，密切配合的週期函數，它們是解析幾何學和週期函數的分析學中最為基本和重要的函數；而正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質（主要是其對稱性）的直接反映。

三角學 (Trigonometry) 所討論的課題是三角形的各種各樣幾何量之間的函數關聯。由此可見，三角學其實就是三角形的解析幾何，可以說是具體而微的解析幾何；它是整個平面解析幾何的基礎所在，也是用解析法系統研究幾何的基本公具。

正弦、餘弦函數的基本性質

如 [圖 3-1] 所示，設 P(x,y) 是在單位圓上，以 (1,0) 為起點作逆時鐘方向的單位速率運動的動點，則它的 x, y 坐標乃是時間 t 的函數，分別定義為餘弦函數 $\cos t$ 和正弦函數 $\sin t$ 。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.5cm \epsfbox{fig0301... ...35,5.1)*+{y} ,(3.4,2.1)*+{\cos t} ,(4.5,2.8)*+{\sin t} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-1 ]

其實， $x=\cos t$ 和 $y=\sin t$ 乃是單位圓的自然的動態（解析）描述。由此可以想到，正弦、餘弦函數的基本性質乃是圓的幾何性質（主要是對稱性）的解析表述。例如

1. $\overline{OP}^2=1 \quad \Leftrightarrow \quad \cos^2t+\sin^2t=1$ （勾股定理）

2. 圓周周長 $=2\pi\; \Leftrightarrow$ 週期性：

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} \cos(2\pi+t) &=& \cos t \\ \sin(2\pi+t) &=& \sin t \end{array}\right. \eqno{(3.1)} \end{displaymath}$

3. 對于 x-軸（或 y-軸）的反射對稱性（參看 [圖 3-2]）

$\begin{displaymath} \Leftrightarrow \quad \begin{array}{c} \cos (-t)=\cos t,\qua... ...\cos t,\quad \sin(\pi-t)=\sin t \big) \end{array} \eqno{(3.2)} \end{displaymath}$

4. 對于直線 x=y 的反射對稱性（參看 [圖 3-2]）： $(x,y)\leftrightarrow (y,x)$

$\begin{displaymath} \Leftrightarrow \quad \sin(\frac{\pi}{2}-t)=\cos t,\quad \cos(\frac{\pi}{2}-t)=\sin t \eqno{(3.3)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=7cm \epsfbox{fig0302.eps}}*\fr... ... t} ,(3.05,2.61)*+{ \frac{\pi}{2}-t} ,(4.4,2.2)*+{(1,0)} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 3-2 ]

5. 圓的旋轉對稱性 $\Leftrightarrow$ 複角公式：

$\begin{displaymath} \cos (\beta-\alpha)=\cos \beta\cos\alpha+\sin\beta\sin \alpha \eqno{(3.4)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =7cm \epsfbox{fig0303.e... ...in\alpha)} ,(3.8,4.5)*+{ P_\beta(\cos\beta,\sin\beta)} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-3 ]

如 [圖 3-3] 所示， $\bigtriangleup OP_\alpha P_\beta$ 乃是 $\bigtriangleup OP_0P_{\beta-\alpha}$ 旋轉 α 角之所得，所以當然有 $\overline{P_\alpha P_\beta}^2=\overline{P_0P_{\beta-\alpha}}^2$ ，即有

$\begin{displaymath}(\cos \beta-\cos \alpha)^2+(\sin\beta-\sin\alpha)^2 = \big(\cos(\beta-\alpha)-1\big)^2+\sin^2(\beta-\alpha)\end{displaymath}$

亦即

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} & \cos^2\beta+\sin^2\beta+\cos^2\alpha+\sin... ...a\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha \\ \end{eqalign} \eqno{(3.5)} \end{displaymath}$

把 (3.4)-式和 (3.2)-式結合，即得

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \cos(\beta+\alpha) &= \cos(\beta-(-\alpha)) ... ...a\cos\alpha-\sin\beta\sin\alpha \\ \end{eqalign} \eqno{(3.6)} \end{displaymath}$

再把 (3.6)-式和 (3.3)-式相結合，即得

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \sin(\alpha+\beta) &= \cos \left[ (\frac{\pi... ...\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ \end{eqalign} \eqno{(3.7)} \end{displaymath}$

我們還可以把 (3.6)-式和 (3.7)-式用複數的乘法組合成下述更加整齊的複值形式，即

$\begin{displaymath} (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta) +i\sin(\alpha+\beta) \eqno{(3.8)} \end{displaymath}$

再者，我們可以把 z=x+iy 想為平面上 P(x,y) 點的複數坐標 (complex coordinate) 。如 [圖 3-4] 所示，P 點的極坐標 $\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 θ 分別就是 z 的絕對值和幅角。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =5cm \epsfbox{fig0304.e... ...=& x+iy \\ &=& r(\cos\theta+i\sin\theta) \end{array}} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-4 ]

將 (3.8)-式用來表達複數的乘法，即有

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} z_1\cdot z_2 &= \vert z_1\vert(\cos\theta_1+... ...ta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)) \\ \end{eqalign} \eqno{(3.9)} \end{displaymath}$

亦即兩個複數 z₁, z₂ 相乘，其絕對值相乘而其幅角則相加。此事在研討複數時具有基本的重要性。

6. 和化積公式和反射對稱性

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =7cm \epsfbox{fig0305.e... ...{1}{2}(\alpha+\beta), \sin\frac{1}{2}(\alpha+\beta))} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 3-5 ]

如 [圖 3-5] 所示，等腰三角形 $\bigtriangleup OAB$ 對于 OM 成反射對稱。所以 $\angle AOM=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)$ , $\angle xOC=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$ 。即有

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} M &= (\frac{1}{2}(\cos\alpha+\cos\beta),\fr... ... \cos\frac{1}{2}(\alpha-\beta) \\ \end{eqalign} \eqno{(3.10)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow\quad \left\{ \begin{eqalign} \frac{1}{2}(\cos\al... ...ac{1}{2}(\alpha+\beta) \\ \end{eqalign}\right. \eqno{(3.11)} \end{displaymath}$

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最後修改日期：6/19/2004