李國偉

一、縱橫圖淵源概述 二、保其壽其人其文 三、原文研究 附頁一至十二 附頁十三至二十四

一、縱橫圖淵源概述

　　在組合數學中有一種圖形，西方多稱為magic square，而國人採日譯常名為幻方或魔方陣者，就是將自然數 1,2,3,…,n 排入長寬均為 n 的方陣中，使得每行每列與兩條主對角線的和均為一定數，該定數很容易可知必為 n(n² + 1) / 2。世界上最早見諸記載的魔方陣是下者：

4	9	2
3	5	7
8	1	6

第一世紀後半成書的《大戴禮記》在《明堂篇》述及「二九四，七五三，六一八」，應該就是指該方陣，也似乎因此而有《九宮算》的稱呼法。第六世紀後周人甄鸞注《數術記遣》「九宮算五行參數稍加循環」一段時，明言「九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。」可確定是該方陣。

　　到宋朝時因為方士的牽強扭合，以及儒者的順從緣飾，就把九宮圖附會到「河圖」「洛書」上，其實「河圖」與「洛書」到底是什麼，根本無法考察，但是劉牧《易數鉤隱圖》便說九宮圖是河圖，很多人也就因襲他的說法，最後是朱熹反認九宮圖為洛書，名稱才固定下來。到清聖祖康熙敕編《數理精蘊》時，開宗明義便說「粵稽上古，河出圖，洛出書，八卦是敘，數學亦於是乎肇焉。」更是把一個簡簡單單的圖形籠罩上無比的神祕色彩。

　　對於不懂數學的人，這種圖形也許只引起神秘感，但是數學能力強的人，便會探求它的構造原理。西元一二七五年宋朝大數家楊輝寫成《續古摘奇算法》便有《縱橫圖》一節，並且首先說明洛書的作法，無非是「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。」根據這種客觀分析的方法，楊輝又造了好多其他的方陣，以及非方形但仍有定和現象的別類圖形，所以「縱橫圖」這個稱呼所含的東西，比「魔方陣」更為廣泛。

　　楊輝之後論及縱橫圖主要有，宋朝丁易東的《大衍索隱》；明朝程大位《算法統宗》(西元一五九三年)；清朝方中通的《數度衍》(西元一六六一年)；以及清朝張潮的《心齋雜俎》(西元一六七○元)。除了張潮較有創意外，其他大多因襲舊說。清朝梅玨成（西元一六八一年一∼西元一七九三年）著《增刪算法統宗》十一卷(西元一七六○年)，因為河圖洛書神祕色彩過重，又無多大實用價值，就把各個縱橫圖都刪掉了。因為梅的書使用流通很廣，致使縱橫圖的發展幾乎完全中斷。反倒是《算法統宗》傳人日本，促成日本數學家研究縱橫圖的興趣。譬如礒村吉德(？一西元一七○九年)，關孝和(？一西元一七○八年)都有創作，特別是一些圓形的縱橫圖。不過這些創作在數學內容的難度上，並沒有顯著的提昇。基本上把 配成數對 (1,n), (2, n-1), (3, n-2) ……，每一對的和均為 n+l，再適當的把這些數對安置在一些圖形上，便得到非方形的縱橫圖。