為了讓中、英文版的讀者都能檢索，這裡所提到的頁碼，均為英文版頁碼。如果你手上的是中譯本，英文版頁碼標在每頁左、右緣的適當位置。

• P.2, 塞諾芬尼（Xenophanes）的三段引文
  前蘇格拉底哲學家 Xenophanes 並沒有完整著作留傳下來，現在所知的只有經他人引述的殘篇。本書所引的三段殘篇，在 Diels-Kranz (DK) 的編號分別是 B18, B35, B34。

  Xenophanes 殘篇的英譯有許多版本，而 Morris Kline 的譯法又和一般略有不同。在此抄錄 Jonathan Barnes, Early Greek Philosophy (Penguin, 1987) 中的英譯，以供參考

  B18 Not from the start did the gods reveal all things to mortals, but in time, by inquiring, they make better discoveries.

  B35 Let these things be believed as similar to the truth

  B34 And the clear truth no man has seen nor will anyone know concerning the gods and about all the things of which I speak; for even if he should actually manage to say what was indeed the case, nevertheless he himself does not know it; but belief is found over all.

  不談其中涉及的哲學意義，單就字面論，兩種版本的 B18, B35 都差不多，B34 則差異較大，尤其是最後一句。Jonathan Barnes 譯的是「就算他說的確實是真理，他自己也無法確知；但是人人都可有信念。」

  另外的譯法還包括：「就算有人說的碰巧為實情，他自己也不知道；但是人人都可有觀點。」（Stanford Encyclopedia of Philosophy 網站）

  「即使有人偶爾說出了極完備的真理，他自己也無法斷定這是真理。一切只是意見而已。」（汪子蒿等，《希臘哲學史•卷一》，p. 573，人民出版社，北京）

  關於進一步的解釋，線上資料可參閱 Stanford Encyclopedia of Philosophy, "Xenophanes" 詞條。

• P.6, Bourbaki 和 Weyl 的話
  兩段引語在第十四章有更完整的引述和討論，Bourbaki 見 p.320，Weyl 見 p.319。

• PP.14-15, 亞里斯多德在《形而上學》中總結畢氏學派在數字與現實世界之間所建立的關係
  出自《形而上學》，第一卷第五章，985b25 之後。

• P.20, 亞里士多德的推理架構
  見亞里士多德《後分析篇》，第一卷第一至三章和第十章。

• P.42, 笛卡兒著作的書名
  《談正確運用理性以及在各門科學追尋真理的方法》（Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason and Seeking for Truth in the Sciences, 1637）這個很長的書名，即一般簡稱的《談方法》（Discourse on Method）。

• P.42, 笛卡兒：「關於我們想研究的對象，……」
  出自《指導心智心靈的法則》（Rules for the Direction of the Mind）的第三條法則， 可參考 http://faculty.uccb.ns.ca/philosophy/kbryson/rulesfor.htm。

• P.42, 笛卡兒：「直覺是純粹專注心靈的無疑感知，……」
  出自第三條法則的解釋裡，對「直覺」的定義。更完整的引文亦見第十章，pp.230-231。

• P.42, 笛卡兒《沉思集》：「我把我能清楚領會的有關形、數及其他屬於算術和幾何……」
  出自《沉思集》，第五沉思。中譯可參考《第一哲學沉思集》（漢譯名著叢書，龐景仁譯，北京商務），p.69。

• P.43, 笛卡兒《談方法》：「對於所有那些尋求科學真理的人，……」
  出自《談方法》，第二部分。中譯可參考《談談方法》（漢譯名著叢書，王太慶譯，北京商務），p.16。

• P.45, 帕斯卡《思想錄》：我們的第一原理知識，……
  出自《思想錄》，第282段。中譯可參考《思想錄》（漢譯名著叢書，何兆武譯，北京商務），p.131。

  《思想錄》有多種版本，各版的段落編次順序不同，這裡採用的是 Brunschvicg 版編號。《思想錄》最常見的英譯 William Finlayson Trotter 譯本(1904) 也是採用 Brunschvicg 編號。Trotter 譯本全文可在網站上找到，例如 Christian Classics Ethereal Library 即提供多種格式。

• P.54, 牛頓：「既然據帕普斯 (Pappus) 所云，…… 」
  出自《自然哲學的數學原理》序言的一開始。在 Morris Kline 的引文裡，第一個刪節號約跳過一頁。中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》（王福山等譯，上海譯文），pp.15, 16。

• P.55, 牛頓：「在此，我只擬給出力的數學觀念，…… 」
  出自《原理》，第一卷，定義8。中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，p.25。

• PP.55-56, 牛頓在1692年2月25日寫給 Richard Bentley 的信
  中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，pp.76-77。

• PP.58-59, 牛頓在《光學》中關於上帝是宇宙設計者的經典論證
  出自《光學》問題28。中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，pp.208-209。

• P.59, 牛頓在1692年12月10日寫給 Richard Bentley 的信
  中譯可參考《牛頓自然哲學著作選》，p.69。

• P.59, 牛頓《古國年代校訂》的書名
  英文全名是 The Chronology of Ancient Kingdoms Amended - A Short Chronicle from the First Memory of Things in Europe, to the Conquest of Persia by Alexander the Great，主要校訂的是聖經事件的年代，但並不僅限於聖經。

• P.67, 威廉•詹姆斯《實用主義》的引文
  出自《實用主義》第二講，〈實用主義的意義〉。若欲在網路上查閱原文，可搜尋「"William James" "What Pragmatism Means"」。

  這段翻譯有一句需補充說明：「[全能者] 也像歐幾里得一樣做幾何」，原文是 "geometrized like Euclid"，所指涉的即是柏拉圖的名言，「神永遠將一切幾何化」(God eternally geometrizes)，見本書第一章。

  中譯可參考《實用主義》（漢譯名著叢書，陳羽綸、孫瑞禾譯，北京商務），pp.31-32。該書譯文未盡正確，參照時請留意。

• P.71, 培根 (Francis Bacon)：部落偶像根源於人性本身，……
  出自《新工具》卷一，第41段。

• P.71, 培根：由論辯建立起來的原理並不足以發現新事物，……
  出自《新工具》卷一，第24段。

• P.75, 康德：但是我們有確實把握，……
  出自《任何未來形而上學之緒論》（Prolegomena to Any Future Metaphysics）第四節的最後面。

• P.80 ff, 關於 Gerolamo Saccheri 的平行公設研究
  可以參考本網站的曹亮吉〈歐幾里得無瑕獲釋〉。

• P.98, 笛卡兒：幾何學家常使用一長串簡單、容易的推理
  出自《談方法》，第二部分，緊接著四條規則之後。中譯可參考《談談方法》（北京商務版），p.16。

• P.99, 華茲華斯的〈親近不朽〉("Intimations of Immortality")
  詩的全名是 Intimations of Immortality from Recollections of Early Childhood，Kline 引述的前句在第65行，後句在第17行。

• P.102, 歐幾里得在《原本》裡提出了五個「通用觀念」和五個「設準」
  這裡的「通用觀念、設準」(common notion, postulation) 即是一般所謂的「公理、公設」。舉例的「等於同物之物，彼此相等」，一般譯「等於同量的量彼此相等」（《原本》公理1）；「彼此重合之物是相等的」，一般譯「彼此重合的圖形是全等的」（公理4）。

• P.104, 亞里士多德把這種證法稱為歸謬法（即 reductio ad absurdum）
  歸謬法在英文裡是直接使用拉丁文名稱 reductio ad absurdum；亞里士多德的時代已經有這個觀念，但他用的當然是希臘文，而不是拉丁文。詳釋可參閱 Internet Encyclopedia of Philosophy, reductio ad absurdum 詞條。

• P.105, 柏拉圖在《法律篇》呼籲研究不可公度比
  出自《法律篇》（Laws）卷七，柏拉圖認為應該對青年教授不可公度性，見 819E-820C。

• P.133, 刻卜勒的《測量酒桶的新立體幾何》
  刻卜勒的《測量酒桶的新立體幾何》，書名應是 Nova stereometria doliorum vinariorum，1615年出版。本書英文版漏了 "Nova"，年分誤作 1616，中譯本已改正。

• P.134, 帕斯卡：我們認識真理，不只是從理性……
  出自《思想錄》第282段。中譯可參考《思想錄》，p.131。

• P.139, 萊布尼茲：就目前而言，此種從不等變成相等的瞬間過渡狀態……
  本書英文版原作 "such a state of instantaneous transition from inequality or equality"，其中 or 是 to 之誤。

• P.164, 彭斯勒是拿破崙攻俄時的法軍軍官
  原文僅作 "He was a soldier in Napoleon's army"。Poncelet 是在1807-1810 間就讀於綜合工藝學校 (École Polytechnique)，受業於 Monge；1812入伍，任工兵中尉。

• P.165, 相交兩圓不可能共圓心
  歐幾里得《原本》，第三卷，命題五。

• P.179, Weierstrass 從1840年代就開始研究無理數，不過當時並未發表，直到1860年代，才為人所知
  1840年代時 Weierstrass 還在教中學 (1841-1856)，只能利用課餘時間研究數學，和歐洲數學家也沒有聯絡。關於他傳奇性的數學生涯，可參考 E.T. Bell 的《大數學家》（九章出版）。

• P.202, 在1901年的一篇文章裡，羅素說康托一定「犯了一個非常精微的謬誤」
  這篇文章的標題是 "Mathematics and the Metaphysicians"。羅素原文是說康托證明了不存在有最大的超限數，但他相信這證明有錯。正如本書所說的，當這篇文章收入《神祕主義與邏輯》(Mysticism and Logic) 收入時，羅素加了一個附註，為他的錯誤想法道歉。

• P.217, 弗列格的《算術基礎》(1884) 和《算術基本律》(1893, 1903)
  Morris Kline 在這裡把弗列格的《算術基礎》、《算術基本律》誤寫為《數學基礎》、《數學基本律》，第八章 (p.187) 則是正確的。

• PP.229-230, 羅素：經過二十年極為艱困的辛苦工作後，我的結論是，想要讓數學知識確定無疑，我自己是不再能有什麼建樹了。
  這段承認失敗的話是羅素在《回憶剪影》（Portraits from Memory, 1958）裡說的，它所呈現的景況，比我們從字面上看到的還要悲慘。

  本章的前面 (p.218) 曾提到，羅素在《數學哲學導論》(1919) 裡，很不滿意戴德金列出公設的策略，說：「把自己想要的概念逕行條列出來，這樣做有許多好處，就像當小偷比老老實實工作更佔便宜一樣。」在原書裡，緊接著羅素說：「他們想要這樣就隨他們去，我們還是老老實實地做苦工。」（見 Introduction to Mathematical Philosophy, p.71）

  《數學哲學導論》裡涉及的是無理數的問題，羅素認為他可以用老老實實做苦工 ("honest toil") 的方式來解決。但是四十年後，在更重大的數學基礎的問題上，他卻只能承認他的「極為艱困的辛苦工作」("very arduous toil") 最終是失敗的。次年出版的《我的哲學發展》(1959) 也呈現出強烈的悲觀色彩。對於一位二十世紀的偉大哲人，這確實是莫大的悲劇。

• P.239, 希爾伯特1927年的論文〈數學的基礎〉("The Foundations of Mathematics")
  這篇論文在本書的 p.260 會再提到。關於出版時間，請見下面「第十二章」p.260 的補註。

• 無

• P.260, 希爾伯特分別在1905, 1927年發表的兩篇論文
  希爾伯特先在1905年發表了〈論邏輯和算術的基礎〉（"Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik"，英譯 "On the Foundations of Logic and Arithmetic" 於同年出版），又在1927年宣讀了一篇以〈數學的基礎〉 （"Die Grundlagen der Mathematik"）為題的論文，這篇論文隔年刊登在 Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, vol. 6, pp. 65-85。

  後者又收入希爾伯特的其他著作中，包括第七版的《幾何學基礎》（初版1899、七版1930）；英譯則首見於 van Heijenoort 所編的 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931，1967年出版。

  Kline 在本書中說〈數學的基礎〉於1930年出版，指的應是它被收入《幾何學基礎》第七版的年分，中譯本改採最早出現的1928年。這篇的英譯可見 www.marxists.org。

• P.281, Felix Klein 所著的十九世紀數學史
  指 Klein 的 Vorlesungen uber die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert，英譯 Development of Mathematics in the Nineteenth Century。本書 p.288 會再提到這本書。

• P., 培根《學術的增長》著作年分
  培根的《學術的增長》(The Advancement of Learning) 應為1605年出版，本書英文版誤作1620年。

• P.295, G. H. Hardy 論及戰時數學處境的文章
  這篇文章的標題即是 "Mathematics in Wartime" (1940)，這是他應劍橋大學數學會之邀，替學會刊物 Eureka 而寫的。文章的主要內容，後來改寫進 Hardy 的知名著作《一個數學家的辯白》(A Mathematician's Apology)。本頁所引的文字出現在該書第25節。

• P.313, 帕斯卡曾經發明兩個詞：「幾何才智」和「策略才智」
  我們用「幾何才智」來譯 esprit de géométrie，用「策略才智」來譯 esprit de finesse。

  Trotter 英譯本譯成 "the mathematical and the intuitive mind" （數學的心靈和直覺的心靈），這麼譯是把數學和直覺分離開來，並不妥當。正如我們可以在本書看到的，數學創造既需要嚴謹的邏輯推理，也需要直覺。

  另一點需提醒的是，帕斯卡《思想錄》中對 esprit（精神）一字的用法不但與日後不同，而且在書中也不一致。

  何兆武的譯本，這兩個詞作「幾何性精神」、「敏感性精神」，並有簡釋，可參考。

• P.322, Hermite: 我相信數和函數都不是我們精神的任意產物……
  「函數」原文是 functions of analysis，完整的譯法是「分析學裡的函數」，但嫌冗長。也不可譯成「分析函數」，因為數學裡有 analytic function，一般譯為「解析函數」；「分析函數」會造成誤解。就這段話的意義而言，只講「函數」不會有任何問題。

• P.324, 帕斯卡：真理是非常微妙的一個點……
  出自《思想錄》，第82則「想像」，倒數第二段。帕斯卡原來談的是「正義和真理」，Kline 在引用時略加改寫，省略「正義」。

  Kline 的引句是：
  Truth is so subtle a point that our instruments are too blunt to touch it exactly. When they do reach it, they crush the point and bear down around it, more on the false than on the true.

  Trotter 版英譯是：
  Justice and truth are two such subtle points that our tools are too blunt to touch them accurately. If they reach the point, they either crush it, or lean all round, more on the false than on the true.

  帕斯卡在《外省書札》的第三封信裡也有類似的句子。("Truth, we know, is so delicate that, if we make the slightest deviation from it, we fall into error [...].") 要言之，真理是非常微小的一個點，必須藉由非常精緻、審慎的方法才能碰觸得到，而稍有偏失，即使非常靠近，得到的還是錯謬。

  本書譯成：
  「真理是非常微妙的一個點，我們的工具都太粗鈍，所以無法精確地碰觸到它。一旦伸向它，要不就摧毀這個點，否則就斜落到點的近旁，得到的錯謬多於真理。」

  亦可參考何兆武譯本：
  「正義和真理乃是如此之精微的兩個尖端，以致於我們的工具總會過於粗糙而無法確切地接觸到它們的。假如我們的工具居然能做到這一點，它們也會撞壞尖端，並且會整個倒在錯誤上面而不是倒在真理上面。」（北京商務版，pp.45-46）

• P.324, Weyl 《數學與自然科學的哲學》的書名
  Weyl 這本書，Philosophy of Mathematics and Natural Science，指的是「數學與自然科學的哲學」（也就是數學哲學和自然科學哲學），而不是「數學哲學與自然科學」。這是 Weyl 為 Handbuch der Philosophie（哲學手冊，1926 出版）所撰寫的，全書分為兩部分，即「數學」和「自然科學」。

  （按：中譯本 p.424 頁誤作「數學與自然科學與哲學」，應是「數學與自然科學的哲學」。）