Newton 與 Leibniz



 

.取材自曹亮吉的《阿草的葫蘆》之9.5節,遠哲基金會。
 

微積分經過一段時期的醞釀,終於在 Newton 與 Leibniz 兩人的手中,成為有系統的學門,所以簡單的說法就認定他們兩人是微積分的發明者。雖然如此,他們兩人的微積分風格不同,貢獻各異,甚至為了「誰發明了微積分」,還爭吵不休。

Newton(1642 1727)首先得到一般指數的二項式展開式,利用它及微積分基本定理,將主要的函數都表成冪級數,然後用逐項積分與逐項微分的方法,來處理這些函數的微積分。所以他是深知微積分基本定理的人,而且用冪級數的方法處理微積分的計算。

此外,Newton最大的貢獻就是把微積分用到物理上。他從 Kepler 的行星運動三大定律及 Galileo 的落體運動及拋物運動出發,構思了自己的運動定律及萬有引力定律,而他自己的定律都可以用微積分的式子表示。而且在僅有太陽及一顆行星的簡化系統上,他能用微積分的方法,證明Kepler的三大定律與萬有引力定律之間可以互相導出。Newton 在其巨著《自然哲學的數學原理》(Philosophie Naturalis Principia Mathematica)中,不但做了這樣的推演,更用微積分的方法,討論了潮汐、月球的不規則運動、歲差等現象,甚至預測了人造衛星的可能性。

Leibniz(1646 1716)最主要的貢獻則是把微分與積分的技巧整理得很清楚,包括微分的四則定理──亦即函數的四則運算與微分運算的交換法則;也包括了積分的分部積分技巧──它是經由微積分基本定理導得的。

另外,Leibniz的微積分符號更是影響深遠,直到現在大家都樂於使用。Leibniz的微分符號$\frac{dy}{dx}$,不但具有無窮小觀點的直觀,而且像連鎖規則 $\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$看起來就是自然的結果(雖然它是必須嚴格證明的定理),不但方便記憶,也方便運算。Leibniz的積分符號 $\int_a^b f(x)dx$,一樣深具無窮小觀點的直觀,許多物理中的積分公式,只要懂得物理內涵,積分公式就自然寫出。變數代換、分部積分在這樣的符號下,變成為符號的形式操作。

Newton 在1660年代就開始思考微積分及相關的應用,但直到1687年出版其巨著時,才正式公諸於世。Leibniz 要到1670年代才開始了微積分的創造,但在1684年就發表了這方面的論文。所以誰先發明微積分就成了問題。更關鍵的是,1676年 Leibniz 透過英國皇家學會的秘書通信,與 Newton 交換了彼此對微積分的研究結果。

Newton 在推銷自己想法方面是被動的,Leibniz 則較積極,而且他的符號又具直觀,非常好用。於是 Leibniz 逐漸成為一群活躍數學家的領袖,這使英國學者很不是味道。他們認為 Leibniz 從與 Newton 間接通信中得到重大的啟示──Newton 也這麼認為──但居然未公開如此表示過,所以令人感到不高興,於是公開指控 Leibniz 抄襲的罪行。其實在通信中,Newton 提到的只是結果,從未透露得到結果的方法。

英國科學家有了這樣的反感,於是沈醉於 Newton 的成就,執著於 Newton 的微積分符號、難懂的極限觀念,自外於歐陸的進展而不自覺。等到英國部分科學家幡然夢醒,逾1813年成立「分析學社」,譯介歐陸的科學著作,採用 Leibniz 的符號與想法時,英國早就失去了科學研究的主導地位。

 
對外搜尋關鍵字:
Newton
Leibniz
冪級數
微積分基本定理
Kepler
行星運動三大定律
Galileo
 

(撰稿:曹亮吉/台大數學系)

相關網頁:
數學家小傳:Newton, Issac
數學家小傳:Leibniz
牛頓如何突破微積分學(曹亮吉) 
自然哲學的數學原理(曹亮吉) 
萊布尼茲的微積分(曹亮吉) 
Leibniz 如何想出微積分?(蔡聰明) 

回頁首
 

留言(若有指正、疑問……可利用這裡留言)

 
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


編輯:陳文是 最後修改日期:8/30/2001