微積分經過一段時期的醞釀，終於在 Newton 與 Leibniz 兩人的手中，成為有系統的學門，所以簡單的說法就認定他們兩人是微積分的發明者。雖然如此，他們兩人的微積分風格不同，貢獻各異，甚至為了「誰發明了微積分」，還爭吵不休。

Newton(1642 1727)首先得到一般指數的二項式展開式，利用它及微積分基本定理，將主要的函數都表成冪級數，然後用逐項積分與逐項微分的方法，來處理這些函數的微積分。所以他是深知微積分基本定理的人，而且用冪級數的方法處理微積分的計算。

此外，Newton最大的貢獻就是把微積分用到物理上。他從 Kepler 的行星運動三大定律及 Galileo 的落體運動及拋物運動出發，構思了自己的運動定律及萬有引力定律，而他自己的定律都可以用微積分的式子表示。而且在僅有太陽及一顆行星的簡化系統上，他能用微積分的方法，證明Kepler的三大定律與萬有引力定律之間可以互相導出。Newton 在其巨著《自然哲學的數學原理》(Philosophie Naturalis Principia Mathematica)中，不但做了這樣的推演，更用微積分的方法，討論了潮汐、月球的不規則運動、歲差等現象，甚至預測了人造衛星的可能性。

Leibniz(1646 1716)最主要的貢獻則是把微分與積分的技巧整理得很清楚，包括微分的四則定理──亦即函數的四則運算與微分運算的交換法則；也包括了積分的分部積分技巧──它是經由微積分基本定理導得的。

另外，Leibniz的微積分符號更是影響深遠，直到現在大家都樂於使用。Leibniz的微分符號，不但具有無窮小觀點的直觀，而且像連鎖規則 看起來就是自然的結果(雖然它是必須嚴格證明的定理)，不但方便記憶，也方便運算。Leibniz的積分符號 ，一樣深具無窮小觀點的直觀，許多物理中的積分公式，只要懂得物理內涵，積分公式就自然寫出。變數代換、分部積分在這樣的符號下，變成為符號的形式操作。

Newton 在1660年代就開始思考微積分及相關的應用，但直到1687年出版其巨著時，才正式公諸於世。Leibniz 要到1670年代才開始了微積分的創造，但在1684年就發表了這方面的論文。所以誰先發明微積分就成了問題。更關鍵的是，1676年 Leibniz 透過英國皇家學會的秘書通信，與 Newton 交換了彼此對微積分的研究結果。

Newton 在推銷自己想法方面是被動的，Leibniz 則較積極，而且他的符號又具直觀，非常好用。於是 Leibniz 逐漸成為一群活躍數學家的領袖，這使英國學者很不是味道。他們認為 Leibniz 從與 Newton 間接通信中得到重大的啟示──Newton 也這麼認為──但居然未公開如此表示過，所以令人感到不高興，於是公開指控 Leibniz 抄襲的罪行。其實在通信中，Newton 提到的只是結果，從未透露得到結果的方法。

英國科學家有了這樣的反感，於是沈醉於 Newton 的成就，執著於 Newton 的微積分符號、難懂的極限觀念，自外於歐陸的進展而不自覺。等到英國部分科學家幡然夢醒，逾1813年成立「分析學社」，譯介歐陸的科學著作，採用 Leibniz 的符號與想法時，英國早就失去了科學研究的主導地位。

（撰稿：曹亮吉／台大數學系）

相關網頁：

數學家小傳：Newton, Issac

數學家小傳：Leibniz

牛頓如何突破微積分學（曹亮吉）

自然哲學的數學原理（曹亮吉）

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Leibniz 如何想出微積分？（蔡聰明）

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