費馬最後定理的證明 (第 3 頁)

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費馬最後定理的證明（第 3 頁）

余文卿

．原載於科學月刊第三十卷第十一期
．作者當時任教於中正大學數學系
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橢圓曲線與模型曲線

對整數 a,b,c，方程式

y²=x³+ax²+bx+c

所定義的代數曲線稱為一橢圓曲線，這類方程式的複數解形成一輪胎面且具有加法結構，因而同構於 C/L，其中 C 是複數體且

$\begin{displaymath} L=\{ aw_1+bw_1 \quad \vert\quad a,b \in Z\} \end{displaymath}$

是 C 中的一些方格點所成的集合。

弗維 (Frey) 想到從費馬方程式 xⁿ+yⁿ=zⁿ 的解建構橢圓曲線的原始構想。假設費馬定理對某一質數 p 不成立，即存在有正整數 a,b,c 滿足

a^p+b^p=c^p

利用 a^p, b^p 當係數而建構一橢圓曲線，稱弗維曲線。

E:y²=x(x-a^p)(x+b^p)

這樣的橢圓曲線具有半穩定性且其引導子 (conductor) N_E 是 a^p b^p c^p 之質因數的乘積。

對於任意質數 q 與一橢圓曲線 E，設 E 在有限體 $\frac{Z}{qZ}$ 的點個數為 1+q-a_q，而定義 E 的 L-函數

$\begin{displaymath} L(s,E) = \prod_{q\vert N_E} (1-a_q q^{-s})^{-1} \prod_{q\vert N_E}(1-a_q q^{-s}+q^{1-2s})^{-1} \end{displaymath}$

這樣的L-級數可表示為 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n n^{-s}$ ，而對應到週期函數 $f(z)=\sum^{\infty}_{n=1}a_n e^{2\pi inz}$ ，若尚額外滿足

$\begin{displaymath} f(-\frac{1}{z})=z^kf(z) \end{displaymath}$

則稱 f 是一權為 k 的模型式，一橢圓曲線 E 是模型曲線的意思是其 L-函數所對應週期函數是一權為 2 的模型式。

現弗維曲線是一半穩定橢圓曲線，根據威爾斯定理，這是一模型曲線，表示其L-函數對應一權為 2 的模型式。但模型式方面的專家卻表示沒有這樣的模型式。因而得證了最後定理。

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編輯：鄧惠文

最後修改日期：4/29/2002