費馬最後定理的證明 (第 2 頁)

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費馬最後定理的證明（第 2 頁）

余文卿

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．原載於科學月刊第三十卷第十一期
．作者當時任教於中正大學數學系
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庫麥爾的悲劇

把一生完全投注在最後定理的，威爾斯決非第一人，德國數學家庫麥爾（E.E. Kummer, 1810-1893）先於威爾斯一百多年。庫麥爾發明代數整數的因式分解理論，完全針對最後定理而來，他把奇質數分成兩類：規則質數與不規則質數。若質數 p 不整除代數體 $Q(e^{\frac{2\pi i}{\rho}})$ 的類數時，則稱 p 是規則質數，否則是為不規則質數，庫麥爾也發現了界定方法。

庫麥爾判別定理：: p 是規則質數的充要條件是 p 不能整除伯努利數 B₂, B₄,…, $B_{\frac{(p-3)}{2}}$ 的分子。

這裡的伯努利數 (Bernoulli numbers) 是透過下面遞迴定義的一串有理數：

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} B_0=1,\\ {n\choose n-1}B_{n-1}+{n\c... ...2}+\cdots{m\choose 0}B_0=0,\quad n\geq 2\\ \end{array}\right. \end{displaymath}$

早在一七三五年，尤拉（L. Euler, 1707-1783）就利用這些數來表示連續正整數的偶次倒數和：

$\begin{displaymath} \frac{1}{1^{2m}}+\frac{1}{2^{2m}}+\cdots+\frac{1}{n^{2m}}+\cdots=\frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}B_{2m}}{2(2m)!} \end{displaymath}$

這是為紀念他的啟蒙恩師伯努利（Johann Bernoulli, 1667-1748），庫麥爾證明了下面的定理。

庫麥爾定理：: 費馬最後定理對規則質數 p 成立。

因而剩下的只是不規則質數，本來庫麥爾認為不規則的質數是有限個，而可被一一擊破。運用這手法，數學家在威爾斯提出證明之前已得證費馬最後定理對n<125000皆成立。

庫麥爾無意間發現了庫麥爾同餘式：

若p是質數，m是不能被p-1整除的偶數，則

$\begin{displaymath} \frac{B_m}{m} = \frac{B_{m+p-1}}{m+p-1} \pmod{p} \end{displaymath}$

根據這個同餘式，可很快得證不規則質數的個數無窮多個，這完全粉碎了庫麥爾的美夢。

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編輯：鄧惠文

最後修改日期：4/29/2002