．原載於科學月刊第十五卷第四期
．作者當時任教於台大數學系
擺線
幾何中的海倫
幾何中的海倫
曹亮吉
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．原載於科學月刊第十五卷第四期 ．作者當時任教於台大數學系 | |||
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擺線
幾何中的海倫 曹亮吉 |
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畫家畫奔馳中的馬車，總是把車輪輪軸上方的輪輻畫成模糊一片，而分開可見的輪輻要在輪軸下方才可能出現。這是什麼道理呢？輪輻是等間隔的，這種視覺上的印象表示：車輪轉動時，上方輪緣的水平方向前進速度要比下方的來得快。這種現象可以用下面這個較靜態的方法來解釋。
讓一個圓沿直線從 A 點滾一圈後到 B 點，則原先圓上緊貼 A 處的那點會畫出圖一中稱為擺線的曲線。
圖中除 A、B 兩點外，在擺線上的三個黑點正是當圓轉了
在十七世紀以前，數學家未曾認真考慮過擺線這種曲線。十七世紀的前三分之二，正是微積分醞釀的時候，求切線、單面積、曲線長、重心等幾何問題的方法大興，又值解析幾何方法的引入，於是擺線適時成為這些方法的實驗品，成為數學界談論最多的曲線之一。
1599 年，Galileo（1564∼1642年）曾經試圖用天秤來量擺線與直線 AB之間所圍成弓形的面積。他用同樣的材料做了擺線弓形及圓盤；他發現一個擺線弓形和三個圓盤在天秤上大約能夠平衡。所以弓形面積大約是圓盤約三倍大。雖然這個答案是正確的，Galileo 總以為兩者之比應該是無理數，因此猜測是 π 倍。正確的答案直到1634年才由法國數學家 Roberval（1602∼1675年）用理論性的計算求得。
Roberval 於1628年來到巴黎，成為 Mersenne（1588∼1648年）討論會的一員。那時候沒有學術性的刊物，也沒有國際學術會議。Mersenne 卻一個人挑起了穿針引線的工作。他和歐洲主要的科學家都有信件來往，把一個人的想法與進展轉知給另一個人，又一星期兩次邀請當地科學家聚在家裏談論共有的興趣。 Roberval 就是在這種集會中從 Mersenne 得知了擺線這樣的曲線。 1629年，義大利數學家 Cavalieri（1598∼1647年）為了爭取 Bologna 大學的教職，提出他在「無窮小」方面的研究成果。這就是微積分中算面（體）積大大有名的卡氏原理。這個原理說：等高兩面（或體）積，如果距底線（或面）等高處的截線（或面）長度（或面積）成定比，則整個面（或體）積之比要等於該定比。
1634年，Roberval 用卡氏原理真正算出了擺線弓形的面積。他的方法是這樣的：如圖二，設 APD 為擺線的一半。過 P 點作 FG 平行於 AC，交圓直徑於 F，交圓於 G ，又取 PQ。曲線 AQD 稱為擺線的相伴曲線，它實際是個以 AD 之中點為中心的正弦曲線，因此將矩形 ACDE 平分成兩塊。另一方面，因為半圓盤 AEGA 和擺線與其相伴曲線間所夾的面積 APDQA 等高，而且等高處的截線長相等，所以它們有相同的面積。因此，如果圓半徑為 a ，則
Roberval 雖然在1634年就算出這個結果，但此結果卻遲至1693年方才發表。當時 Roberval 在皇家學院的教職每三年就要出缺，重新讓大家競爭。Roberval 為了爭取，總把研究方法秘而不宣，還拿出研究過的問題向競爭者提出挑戰。這種作風導至日後常為創作的優先性而與人爭吵，而所得的研究結果也遲遲未能公諸於世。到了1638年 Roberval、Fermat（1601∼1665年）、Descartes （1596∼1650年）等人都成功地做出了擺線的切線，大家又為了誰先誰後誰抄誰的問題大吵一架。可注意者，當時微積分尚未成形，所謂「做出」切線，指的是用傳統的平面幾何方法。 Descartes 是這樣想的：如圖三，若一四邊形 ABCD 在一直線上滾動，則八點的軌跡是由幾段圓弧所組成的，而每段圓弧是以 B、C、D 與直線的接觸點 B'、C'、D' 為圓心，BA、CA、DA 為半徑所畫成的。如果切點 P 在以 C' 為圓心的圓弧上，連線 PC'，作 PC' 的垂線就得曲線的切線。用同樣的道理，把圓想成是邊數無窮的多邊形，Descartes 就得出了擺線的切線的作法。如圖四，設 P 為擺線上的一點。過 P 點，作平行於 AC 的直線，交以 CD 為直徑的圓於 E。連 EC，作 PF' 平行於 EC，再作 PF' 的垂線就得切線。這就是說，當右邊的圓往回滾時，若圓上的 F 點與 F' 點吻合，則 FD 與 F'P 完全吻合。
說完了切線，我們的故事又要轉到另一位法國數學家 Pascal（1623∼1662年）身上。Pascal 是個早熟的數學家，十六歲時就得到幾何學中著名的 Pascal 定理，隨後又同 Fermat 共同開創了機率這門數學。雖然在數學方面有如此輝煌的成就，Pascal 不久就轉而研究神學。1658年的某一個晚上，Pascal 患牙痛，輾轉不能成眠，於是冥想擺線的性質以打發時間；想不到牙齒居然就不痛了。他想這是上帝的意旨，於是瘋狂工作了八天，全心研究擺線的性質。他的研究結果先以問題形式提出挑戰與懸賞，然後才公開發表。在此同時，那位以設計倫敦聖保羅教堂出名的英國建築師 C. Wren（1632∼1723年）也完成了計算擺線長的工作，答案是：從 A 到 B，擺線的長為 8a。
到此為止，擺線的幾何性質知道得差不多了。隨後，解析幾何更加成熟，微積分也正式登場，這些性質的證明也就變得輕而易舉。在現今的微積分課程，它成了標準的例題、標準的習題或標準的考題，而有「學生曲線」之稱。
擺線在力學方面也佔著一個非常重要的地位。雖然 Galileo 就確立了擺的等時性（亦即週期與振幅無關），但其實當振幅大一些的時候，週期就會有些出入。既然擺循著圓弧軌跡擺動不能嚴格遵行等時性，那麼應該循著什麼樣的曲線才能呢？1672年，荷蘭物理學家 C. Huygens（1629∼1695年）提出了他的答案：擺線。如圖五，一個擺的上端固定在同樣大小的、倒立著的兩個擺線的交點上。當擺在這兩個擺線間擺動時，由於擺繩受制於擺線，擺的運動軌跡不是個圓弧，而是一個擺線。從幾何的觀點來說，新的擺線就是原有擺線的一個漸伸線。理論上，這樣設置的擺具有等時性。
1696年，Johann Bernoulli（1667∼1748）年提出最速下降曲線的問題：設有 A、B 兩點，B 點的高度較 A 點的為低，但不在 A 點的正下方。假定 A、B 之間聯有一曲線軌道，而讓一顆彈珠沿著軌道由 A 降到 B 點。如果不考慮摩擦力，那麼什麼樣的曲線會使得下降所需的時間為最短？答案還是擺線──以 A 為起點，通過 B 點而倒立著的擺線。
給了 A、B 兩點，我們怎麼用幾何的方式作這樣的擺線呢？如圖六，任取一圓，讓其切於 A 點，然後讓圓滾動，設 A 點的軌跡交直線於 AB 於 B'。另取一圓，其半徑與第一個圓的半徑之比為 AB:AB'。則由新圓所得的擺線會通過 B 點。在圖六這種情形下，彈珠從 A 到 B 的最速下降曲線居然要先下降到 B點的下方，再上坡到達 B 點呢！
Bernoulli 的問題本身不但饒有趣味，而且由此引起數學家競爭投入所謂變分法的研究。這是求極值的問題，但它和初等微積分所處理的不一樣。在初等微積分中，我們求的是一個函數的極值，尋找變數之值使得相應的函數值為極大或極小值。而 Bernoulli 尋找的是各種可能曲線中的一個曲線，使得相應的數值為極大或極小值。在廣義的函數來說，他所尋找的是以曲線為變數的函數的極值。研究這類問題的方法就稱為變分法，它比普通的極值求法要難得很多。
擺線曾引起許多數學家的競爭與爭吵，它有很好的幾何性質，又有等時性、最速下降曲線這些漂亮的力學性質，難怪有人把它比擬為 Troy 戰爭中的海倫，而使其擁有「幾何中的海倫」這樣的雅號。
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| 編輯：康明軒 ／ 繪圖：簡立欣 | 最後修改日期：2/17/2002 |
![\begin{eqnarray*}
&&[a \cos (\frac{3}{2}\pi -t) \; , \; a \sin(\frac{3}{2}\pi -t)]\\
&=&(-a \sin t \; , \; -a \cos t)
\end{eqnarray*}](img5.gif)
