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.原載於科學月刊第十五卷第四期
.作者當時任教於台大數學系
 

擺線
幾何中的海倫

曹亮吉

 
 

畫家畫奔馳中的馬車,總是把車輪輪軸上方的輪輻畫成模糊一片,而分開可見的輪輻要在輪軸下方才可能出現。這是什麼道理呢?輪輻是等間隔的,這種視覺上的印象表示:車輪轉動時,上方輪緣的水平方向前進速度要比下方的來得快。這種現象可以用下面這個較靜態的方法來解釋。

讓一個圓沿直線從 A 點滾一圈後到 B 點,則原先圓上緊貼 A 處的那點會畫出圖一中稱為擺線的曲線。



圖一

圖中除 AB 兩點外,在擺線上的三個黑點正是當圓轉了 $\frac{1}{4}$$\frac{1}{2}$$\frac{3}{4}$ 圈時的位置。由圖可知,當 P 點貼地時,它在橫方向的速度為 0,然後逐漸加快,轉到 $\frac{1}{2}$ 圈時,也就是當 P 點在上方時,速度最快,然後逐漸減慢,直到碰地貼在 B 點時,速度又恢復為 0。

在十七世紀以前,數學家未曾認真考慮過擺線這種曲線。十七世紀的前三分之二,正是微積分醞釀的時候,求切線、單面積、曲線長、重心等幾何問題的方法大興,又值解析幾何方法的引入,於是擺線適時成為這些方法的實驗品,成為數學界談論最多的曲線之一。

1599 年,Galileo(1564∼1642年)曾經試圖用天秤來量擺線與直線 AB之間所圍成弓形的面積。他用同樣的材料做了擺線弓形及圓盤;他發現一個擺線弓形和三個圓盤在天秤上大約能夠平衡。所以弓形面積大約是圓盤約三倍大。雖然這個答案是正確的,Galileo 總以為兩者之比應該是無理數,因此猜測是 π 倍。正確的答案直到1634年才由法國數學家 Roberval(1602∼1675年)用理論性的計算求得。

Roberval 於1628年來到巴黎,成為 Mersenne(1588∼1648年)討論會的一員。那時候沒有學術性的刊物,也沒有國際學術會議。Mersenne 卻一個人挑起了穿針引線的工作。他和歐洲主要的科學家都有信件來往,把一個人的想法與進展轉知給另一個人,又一星期兩次邀請當地科學家聚在家婼芺蛈@有的興趣。 Roberval 就是在這種集會中從 Mersenne 得知了擺線這樣的曲線。

1629年,義大利數學家 Cavalieri(1598∼1647年)為了爭取 Bologna 大學的教職,提出他在「無窮小」方面的研究成果。這就是微積分中算面(體)積大大有名的卡氏原理。這個原理說:等高兩面(或體)積,如果距底線(或面)等高處的截線(或面)長度(或面積)成定比,則整個面(或體)積之比要等於該定比。



圖二

1634年,Roberval 用卡氏原理真正算出了擺線弓形的面積。他的方法是這樣的:如圖二,設 APD 為擺線的一半。過 P 點作 FG 平行於 AC,交圓直徑於 F,交圓於 G ,又取 PQ。曲線 AQD 稱為擺線的相伴曲線,它實際是個以 AD 之中點為中心的正弦曲線,因此將矩形 ACDE 平分成兩塊。另一方面,因為半圓盤 AEGA 和擺線與其相伴曲線間所夾的面積 APDQA 等高,而且等高處的截線長相等,所以它們有相同的面積。因此,如果圓半徑為 a ,則


\begin{eqnarray*}
\mbox{{\fontfamily{cwM5}\fontseries{m}\selectfont \char 214}\h...
...} \cdot \pi a \cdot 2a + \frac{1}{2} \pi a^2)\\
& = & 3 \pi a^2
\end{eqnarray*}


Roberval 雖然在1634年就算出這個結果,但此結果卻遲至1693年方才發表。當時 Roberval 在皇家學院的教職每三年就要出缺,重新讓大家競爭。Roberval 為了爭取,總把研究方法秘而不宣,還拿出研究過的問題向競爭者提出挑戰。這種作風導至日後常為創作的優先性而與人爭吵,而所得的研究結果也遲遲未能公諸於世。到了1638年 Roberval、Fermat(1601∼1665年)、Descartes (1596∼1650年)等人都成功地做出了擺線的切線,大家又為了誰先誰後誰抄誰的問題大吵一架。可注意者,當時微積分尚未成形,所謂「做出」切線,指的是用傳統的平面幾何方法。

Descartes 是這樣想的:如圖三,若一四邊形 ABCD 在一直線上滾動,則八點的軌跡是由幾段圓弧所組成的,而每段圓弧是以 BCD 與直線的接觸點 B'C'D' 為圓心,BACADA 為半徑所畫成的。如果切點 P 在以 C' 為圓心的圓弧上,連線 PC',作 PC' 的垂線就得曲線的切線。用同樣的道理,把圓想成是邊數無窮的多邊形,Descartes 就得出了擺線的切線的作法。如圖四,設 P 為擺線上的一點。過 P 點,作平行於 AC 的直線,交以 CD 為直徑的圓於 E。連 EC,作 PF' 平行於 EC,再作 PF' 的垂線就得切線。這就是說,當右邊的圓往回滾時,若圓上的 F 點與 F' 點吻合,則 FDF'P 完全吻合。



圖三



圖四

說完了切線,我們的故事又要轉到另一位法國數學家 Pascal(1623∼1662年)身上。Pascal 是個早熟的數學家,十六歲時就得到幾何學中著名的 Pascal 定理,隨後又同 Fermat 共同開創了機率這門數學。雖然在數學方面有如此輝煌的成就,Pascal 不久就轉而研究神學。1658年的某一個晚上,Pascal 患牙痛,輾轉不能成眠,於是冥想擺線的性質以打發時間;想不到牙齒居然就不痛了。他想這是上帝的意旨,於是瘋狂工作了八天,全心研究擺線的性質。他的研究結果先以問題形式提出挑戰與懸賞,然後才公開發表。在此同時,那位以設計倫敦聖保羅教堂出名的英國建築師 C. Wren(1632∼1723年)也完成了計算擺線長的工作,答案是:從 AB,擺線的長為 8a

到此為止,擺線的幾何性質知道得差不多了。隨後,解析幾何更加成熟,微積分也正式登場,這些性質的證明也就變得輕而易舉。在現今的微積分課程,它成了標準的例題、標準的習題或標準的考題,而有「學生曲線」之稱。

擺線在力學方面也佔著一個非常重要的地位。雖然 Galileo 就確立了擺的等時性(亦即週期與振幅無關),但其實當振幅大一些的時候,週期就會有些出入。既然擺循著圓弧軌跡擺動不能嚴格遵行等時性,那麼應該循著什麼樣的曲線才能呢?1672年,荷蘭物理學家 C. Huygens(1629∼1695年)提出了他的答案:擺線。如圖五,一個擺的上端固定在同樣大小的、倒立著的兩個擺線的交點上。當擺在這兩個擺線間擺動時,由於擺繩受制於擺線,擺的運動軌跡不是個圓弧,而是一個擺線。從幾何的觀點來說,新的擺線就是原有擺線的一個漸伸線。理論上,這樣設置的擺具有等時性。



圖五

1696年,Johann Bernoulli(1667∼1748)年提出最速下降曲線的問題:設有 AB 兩點,B 點的高度較 A 點的為低,但不在 A 點的正下方。假定 AB 之間聯有一曲線軌道,而讓一顆彈珠沿著軌道由 A 降到 B 點。如果不考慮摩擦力,那麼什麼樣的曲線會使得下降所需的時間為最短?答案還是擺線──以 A 為起點,通過 B 點而倒立著的擺線。

給了 AB 兩點,我們怎麼用幾何的方式作這樣的擺線呢?如圖六,任取一圓,讓其切於 A 點,然後讓圓滾動,設 A 點的軌跡交直線於 ABB'。另取一圓,其半徑與第一個圓的半徑之比為 AB:AB'。則由新圓所得的擺線會通過 B 點。在圖六這種情形下,彈珠從 AB 的最速下降曲線居然要先下降到 B點的下方,再上坡到達 B 點呢!



圖六

Bernoulli 的問題本身不但饒有趣味,而且由此引起數學家競爭投入所謂變分法的研究。這是求極值的問題,但它和初等微積分所處理的不一樣。在初等微積分中,我們求的是一個函數的極值,尋找變數之值使得相應的函數值為極大或極小值。而 Bernoulli 尋找的是各種可能曲線中的一個曲線,使得相應的數值為極大或極小值。在廣義的函數來說,他所尋找的是以曲線為變數的函數的極值。研究這類問題的方法就稱為變分法,它比普通的極值求法要難得很多。

擺線曾引起許多數學家的競爭與爭吵,它有很好的幾何性質,又有等時性、最速下降曲線這些漂亮的力學性質,難怪有人把它比擬為 Troy 戰爭中的海倫,而使其擁有「幾何中的海倫」這樣的雅號。

 
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附註

擺線的參數方程式很快可由它的定義求得。如圖七,設起點 A 的為原點(0,0),水平線為橫軸。設圓滾到 R 點時,A 點的軌跡停在 P 處。我們可以選 PR 弧在圓心 C 所張的角 t(弧度)為參數。



圖七

如果把圓滾回原點,則 PR 弧與線段 AR 重合,以 AR 的距離為 at , 而 C 的坐標為 (at, a);且因 P 點相對於 C 點的坐標為

\begin{eqnarray*}
&&[a \cos (\frac{3}{2}\pi -t) \; , \; a \sin(\frac{3}{2}\pi -t)]\\
&=&(-a \sin t \; , \; -a \cos t)
\end{eqnarray*}


因此 P 點(相對於原點的)坐標為

\begin{displaymath}x=a(t- \sin t) \; , \; y=a(1 - \cos t) \end{displaymath}

由此參數方程式,用微積分很快可求得擺線弓形面積及擺線長。用解析幾何的方法也可以確知 Roberval 求擺線弓形面積的方法是正確的,Descartes 的切線作法也是正確的,圖六中擺線的作法也是正確的。因為擺線號稱「學生曲線」,我們就把這些證明的過程留給讀者做為習題吧!

   

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編輯:康明軒 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:2/17/2002