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.原載於科學月刊第十五卷第二期
.作者當時任教於台灣大學數學系

註釋
 

無聊與多餘之後

曹亮吉

 
 

平行公理不是其他公理的必然結果,否定平行公理也可以發展沒有矛盾的幾何,不能先驗地認定物理空間是歐氏的,能夠認知這些事才能算是真正走到非歐幾何的道路上。依照這個標準來看,非歐幾何的開山祖師要數 K. Gauss(1777-1855年)、Lobatchevsky(1793-1856年)、J. Bolyai(1802-1860年)這三個人了。

Gauss 是眾所公認十九世紀上半葉最偉大的數學家,而他在非歐幾何的發展過程中卻扮演一個非常奇怪的角色。起先他想要證明平行公理,接著懷疑平行公理之不可證得,然後著手研究非歐幾何,甚至還測量由 Brocken、Hoshehagen 及 Inselsberg 這三個山峰所成三角形的內角和,看它是否偏離 $180^{\circ}$ 1 所以整個非歐幾何誕生的過程,在他的身上一一重現。可是他沒留下有系統的非歐幾何研究,沒有公開談論非歐幾何學,只在私人信件中偶而提及他對平行公理及非歐幾何的看法。

Lobatchevsky 是俄國 Kazan 大學的教授,從1826年起一有機會就公開演講非歐幾何,而且也發表了一連串的論文及書籍。可是一方面他並沒有引起同僚對非歐幾何的興趣,另一方面因俄國地處偏遠,他的作品在歐洲也不流行。

J. Bolyai 的父親和 Gauss 是好朋友,而且曾經試著證明平行公理。雖然父親反對他繼續從事這種看起來毫無希望的研究,小 Bolyai 還是沈迷於平行公理。和 Gauss 一樣,他終於轉向非歐幾何,並且在1832-1833年發表了研究結果。Gauss 讀了小 Bolyai 的結果後卻對老 Bolyai 說:「我無法誇讚他,因為這樣做就等於誇獎我自己。」

這時候是射影幾何飛黃騰達的時代,加上 Gauss 的消極態度,不但使小 Bolyai 心灰意冷,也使整個非歐幾何的觀念及結果不能為世所接受。一直等到 Gauss 死後,他的日記及私函公諸於世,世人才知道 Gauss 對非歐幾何這麼有興趣,而且也因為 Gauss 的身份與地位,許多數學家因而接受非歐幾何的觀念而加入研究的行列。這與非歐幾何無聲無息的誕生相隔已有數十年之久。

由於假定直線長度無限,這些人的非歐幾何都是從銳角假定出發的雙曲非歐幾何(見本文前篇〈歐幾里得無暇獲釋〉)。 銳角假定的等價結果是:過直線外一點有無窮條直線與其不相交;三角形內角和小於 $180^{\circ}$;相似三角形必全等 2

我們再舉幾個較簡單而重要的結果。其一為:三角形內角和與 $180^{\circ}$ 之差要正比於三角形的面積;這和球面三角形很類似。另一個是關於平行線的結果。如圖一,過直線 l 外一點 P 的所有平行線(與其不相交的直線)中有兩條平行線 SPQTPR,它們有這樣的性質:過P點的直線若含於$\angle QPR$內則必與 l 相交;若含於 $\angle SPR$ 內則必與 l 平行。$\angle QPR$ 的大小與 P 點到 l 的距離 a 之間有一定的關係:

\begin{displaymath}
\tan\frac{\pi (a)}{2} =e^{-a} ,\quad \angle QPR =2\pi (a)
\end{displaymath}

$\pi (a)$ 稱為 P 相對於 l 的平行角,它隨著 a 之減少而趨近於 $90^{\circ}$。歐氏空間的平行角永遠是 $90^{\circ}$,上面的公式說:當 a 很小時,非歐幾何與歐氏幾何相差很小 3



圖一

由銳角假定出發的幾何稱為雙曲非歐幾何。另一種叫做橢圓非歐幾何 4 ,是由 B. Riemann(1826-1866)首先考慮的,他把直線長度無限的假定改成直線長度有限但無起點、終點,就像球面上的大圓弧那樣。然後從鈍角假定出發,發展成橢圓非歐幾何學。

如果更放鬆些,只要求兩點間可聯成一條直線,而不要求只可聯成一條直線,那麼這種幾何稱為雙點(橢圓非歐)幾何,它的具體表現就是球面幾何。也就是說,把大圓弧當做「直線」,那麼球面上的點與「直線」,藉著(三度)歐氏幾何的結果,可知會滿足雙點幾何的所有公理。

像球面這樣,「直線」雖然可以任意延長,但整個球面是「有限的」,我們稱之為無界而有限。Riemann 認為我們的物理空間也可能是無界而有限的:理論上,一個超級望遠鏡可使天文學家看到自己的後腦瓜子──當然光線得經過千百萬年才能從後腦瓜子傳到眼睛。這是一種彎曲的空間,就如球面也是彎曲的。Riemann 又構思彎曲程度到處可以不一樣的幾何空間,而開啟了 Riemann 幾何學。這不但使幾何學更形多樣化,也使以後的相對論有了現成的數學模型可資利用。「大域」物理空間不是歐氏的結論改變了千古傳統的信念。

以往數學家雖然由銳角假設演繹出許多結果,但誰也無法保證這些結果之間不會有矛盾存在──既然鈍角假定和直線長度無限的假定就互相矛盾,難道銳角假定就不出毛病?Riemann 的雙點幾何使這種一致性(既沒有矛盾)的問題有了解答的眉目。球面幾何既然是雙點幾何的具體表現,如果雙點幾何的公理間有矛盾,球面幾何自然有矛盾,歐氏幾何當然不能倖免,因為球面幾何是歐氏幾何的一部份。反之,如果歐氏幾何沒有矛盾,雙點幾何亦然。如此,借用歐氏幾何中的模型就可以證明雙點幾何(相對於歐氏幾何而言)的一致性。那麼是否也可以用同樣的方法證明其他非歐幾何的一致性?這正是非歐幾何發展史的又一轉機。

在雙點幾何中,任兩條「直線」總交在兩點這件事,使人覺得與歐氏幾何中的直線觀念離得太遠。F. Klein(1849-1925年)想到如下的補救方法:既然球面上兩「直線」總是相交在相對蹠的兩點(把一點看成北極,另一點就是南極),我們何不把球面上相對蹠的兩點都看成一「點」。這種幾何稱為單點(橢圓非歐)幾何,它的(相對)一致性也不成問題。

雙曲非歐幾何也有多種經由歐氏幾何所建立起來的模型,其中較著名的有 Beltrami (1835-1900年)的、Klein 的,以及 Poincaré(1854-1912年)的。在 Poincaré 的模型中,「點」就是歐氏平面中一固定圓 Σ 內的點(圓上的點不算),「直線」就是在 Σ 內而與 Σ 相垂直的圓弧。如圖二,若 STAB 聯「線」的端點,則 AB 間的「距離」d(A,B) 要定義成

\begin{displaymath}
d(A,B)=\log (\frac{AT}{BT}\cdot\frac{BS}{AS})
\end{displaymath}

這樣的距離公式滿足一般幾何中對距離的要求。譬如,d(A,B) 為正數,除非 AB 重合。譬如,若 CAB 同在一「直線」上,且位於 AB 之間,則 d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)。又譬如,兩三角形如果有兩邊及一夾角對應相等,則兩三角形全等。(兩「直線」的「夾角」,在此模型中,就等於兩相應圓弧的歐氏夾角。)



圖二

如圖三,若 P 為「直線」l 外一點。則 Pl 的端點 ST 的兩聯「線」,就是圖一中的 PQPR 那兩條特別的平行線。藉助這個模型,雙曲非歐幾何的許多性質就可以一目了然。



圖三

雖然如此,大家總覺得這樣的模型很假,也就是會問:物理空間怎麼可能是這樣的?直線怎麼是彎的?為了釋疑,Poincaré 創造了一個幻想的世界,說明在適當的物理狀況下,這樣的模型也可能變得很真實。這個世界是歐氏空間中一個圓球的內部,它擁有如下的特殊物理性質:

一、任何一點 P 的溫度為 k(R2 -r2)k 為常數,R 為球半徑,rP 點到球心的距離。
二、各種物體的(線性)大小隨溫度改變而與其成正比(熱漲冷縮)。
三、各種物體的溫度與其所在地點的相同。
四、光線沿著與球面垂直的圓弧前進(譬如各地的氣體各有適當的折射率就能達成這種狀況)。

在這個世界裡的生物對自己大小的變化並不知情,因為用來作為度量的工具也做同比率的脹縮。在我們看來,他們愈接近球面,身子愈小,走的步子也愈小,但他們卻沒有這樣的感覺。因為大小的改變遵行上面的規律,我們可以證明:當他們走捷徑時,在我們看來,他們正是沿著與球面垂直的圓弧前進,而這樣的路徑在他們看來是直直的。更可以證明他們的距離公式就是 d(A,B),因此「直線」長度無限。他們覺得他們的世界無邊無界,因為他們永遠到不了邊。雖然我們看著他們明明是在歐氏空間中,但他們所研究的幾何首先一定是雙曲非歐幾何,因為在他們的世界中,過直線外一點可以有無窮條平行線。

各式各樣的模型不但證明了平行公理的獨立性(亦即不能由其他公理導出),也證明了各種非歐幾何的(相對)一致性,使得這些幾何的地位和歐氏幾何一樣,正式成為數學的分支。既然考慮各種公理系統不但可以整理數學知識,而且可以發展許多數學分支,數學公理化的方法與精神逐漸滲透到數學的各個角落堙A而成為二十世紀數學的一個特色。更有甚者,物理世界到底符合數學中的哪種幾何當然就不能先驗了,當然要由物理條件來決定。這對哲學與認知也是一大衝擊。

想證明看起來毫無疑問的平行公理,好像是哲學家與數學家的無聊與多餘。二千年後,參透了平行公理,引發了非歐幾何,其所帶給哲學、科學與數學的影響卻絕非當初所能想像得到的。

 
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編輯:陳文是 最後修改日期:4/29/2002