．原載於科學月刊第十五卷第二期
．作者當時任教於台灣大學數學系
•註釋
無聊與多餘之後
曹亮吉
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．原載於科學月刊第十五卷第二期 ．作者當時任教於台灣大學數學系 •註釋 | |||
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無聊與多餘之後
曹亮吉 |
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平行公理不是其他公理的必然結果，否定平行公理也可以發展沒有矛盾的幾何，不能先驗地認定物理空間是歐氏的，能夠認知這些事才能算是真正走到非歐幾何的道路上。依照這個標準來看，非歐幾何的開山祖師要數 K. Gauss（1777-1855年）、Lobatchevsky（1793-1856年）、J. Bolyai（1802-1860年）這三個人了。
Gauss 是眾所公認十九世紀上半葉最偉大的數學家，而他在非歐幾何的發展過程中卻扮演一個非常奇怪的角色。起先他想要證明平行公理，接著懷疑平行公理之不可證得，然後著手研究非歐幾何，甚至還測量由 Brocken、Hoshehagen 及 Inselsberg 這三個山峰所成三角形的內角和，看它是否偏離
Lobatchevsky 是俄國 Kazan 大學的教授，從1826年起一有機會就公開演講非歐幾何，而且也發表了一連串的論文及書籍。可是一方面他並沒有引起同僚對非歐幾何的興趣，另一方面因俄國地處偏遠，他的作品在歐洲也不流行。
J. Bolyai 的父親和 Gauss 是好朋友，而且曾經試著證明平行公理。雖然父親反對他繼續從事這種看起來毫無希望的研究，小 Bolyai 還是沈迷於平行公理。和 Gauss 一樣，他終於轉向非歐幾何，並且在1832-1833年發表了研究結果。Gauss 讀了小 Bolyai 的結果後卻對老 Bolyai 說：「我無法誇讚他，因為這樣做就等於誇獎我自己。」
這時候是射影幾何飛黃騰達的時代，加上 Gauss 的消極態度，不但使小 Bolyai 心灰意冷，也使整個非歐幾何的觀念及結果不能為世所接受。一直等到 Gauss 死後，他的日記及私函公諸於世，世人才知道 Gauss 對非歐幾何這麼有興趣，而且也因為 Gauss 的身份與地位，許多數學家因而接受非歐幾何的觀念而加入研究的行列。這與非歐幾何無聲無息的誕生相隔已有數十年之久。
由於假定直線長度無限，這些人的非歐幾何都是從銳角假定出發的雙曲非歐幾何（見本文前篇〈歐幾里得無暇獲釋〉）。
銳角假定的等價結果是：過直線外一點有無窮條直線與其不相交；三角形內角和小於
我們再舉幾個較簡單而重要的結果。其一為：三角形內角和與 
 稱為 P 相對於 l 的平行角，它隨著 a 之減少而趨近於  。歐氏空間的平行角永遠是 ，上面的公式說：當 a 很小時，非歐幾何與歐氏幾何相差很小
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。
由銳角假定出發的幾何稱為雙曲非歐幾何。另一種叫做橢圓非歐幾何 4 ，是由 B. Riemann（1826-1866）首先考慮的，他把直線長度無限的假定改成直線長度有限但無起點、終點，就像球面上的大圓弧那樣。然後從鈍角假定出發，發展成橢圓非歐幾何學。
如果更放鬆些，只要求兩點間可聯成一條直線，而不要求只可聯成一條直線，那麼這種幾何稱為雙點（橢圓非歐）幾何，它的具體表現就是球面幾何。也就是說，把大圓弧當做「直線」，那麼球面上的點與「直線」，藉著（三度）歐氏幾何的結果，可知會滿足雙點幾何的所有公理。
像球面這樣，「直線」雖然可以任意延長，但整個球面是「有限的」，我們稱之為無界而有限。Riemann 認為我們的物理空間也可能是無界而有限的：理論上，一個超級望遠鏡可使天文學家看到自己的後腦瓜子──當然光線得經過千百萬年才能從後腦瓜子傳到眼睛。這是一種彎曲的空間，就如球面也是彎曲的。Riemann 又構思彎曲程度到處可以不一樣的幾何空間，而開啟了 Riemann 幾何學。這不但使幾何學更形多樣化，也使以後的相對論有了現成的數學模型可資利用。「大域」物理空間不是歐氏的結論改變了千古傳統的信念。
以往數學家雖然由銳角假設演繹出許多結果，但誰也無法保證這些結果之間不會有矛盾存在──既然鈍角假定和直線長度無限的假定就互相矛盾，難道銳角假定就不出毛病？Riemann 的雙點幾何使這種一致性（既沒有矛盾）的問題有了解答的眉目。球面幾何既然是雙點幾何的具體表現，如果雙點幾何的公理間有矛盾，球面幾何自然有矛盾，歐氏幾何當然不能倖免，因為球面幾何是歐氏幾何的一部份。反之，如果歐氏幾何沒有矛盾，雙點幾何亦然。如此，借用歐氏幾何中的模型就可以證明雙點幾何（相對於歐氏幾何而言）的一致性。那麼是否也可以用同樣的方法證明其他非歐幾何的一致性？這正是非歐幾何發展史的又一轉機。
在雙點幾何中，任兩條「直線」總交在兩點這件事，使人覺得與歐氏幾何中的直線觀念離得太遠。F. Klein（1849-1925年）想到如下的補救方法：既然球面上兩「直線」總是相交在相對蹠的兩點（把一點看成北極，另一點就是南極），我們何不把球面上相對蹠的兩點都看成一「點」。這種幾何稱為單點（橢圓非歐）幾何，它的（相對）一致性也不成問題。
雙曲非歐幾何也有多種經由歐氏幾何所建立起來的模型，其中較著名的有 Beltrami （1835-1900年）的、Klein 的，以及 Poincaré（1854-1912年）的。在 Poincaré 的模型中，「點」就是歐氏平面中一固定圓 Σ 內的點（圓上的點不算），「直線」就是在 Σ 內而與 Σ 相垂直的圓弧。如圖二，若 S、T 為 A、B 聯「線」的端點，則 A、B 間的「距離」d(A,B) 要定義成
這樣的距離公式滿足一般幾何中對距離的要求。譬如，d(A,B) 為正數，除非 A 與 B 重合。譬如，若 C 與 A、B 同在一「直線」上，且位於 A、B 之間，則 d(A,B) = d(A,C) + d(C,B)。又譬如，兩三角形如果有兩邊及一夾角對應相等，則兩三角形全等。（兩「直線」的「夾角」，在此模型中，就等於兩相應圓弧的歐氏夾角。）
如圖三，若 P 為「直線」l 外一點。則 P 與 l 的端點 S、T 的兩聯「線」，就是圖一中的 PQ、PR 那兩條特別的平行線。藉助這個模型，雙曲非歐幾何的許多性質就可以一目了然。
雖然如此，大家總覺得這樣的模型很假，也就是會問：物理空間怎麼可能是這樣的？直線怎麼是彎的？為了釋疑，Poincaré 創造了一個幻想的世界，說明在適當的物理狀況下，這樣的模型也可能變得很真實。這個世界是歐氏空間中一個圓球的內部，它擁有如下的特殊物理性質：
在這個世界裡的生物對自己大小的變化並不知情，因為用來作為度量的工具也做同比率的脹縮。在我們看來，他們愈接近球面，身子愈小，走的步子也愈小，但他們卻沒有這樣的感覺。因為大小的改變遵行上面的規律，我們可以證明：當他們走捷徑時，在我們看來，他們正是沿著與球面垂直的圓弧前進，而這樣的路徑在他們看來是直直的。更可以證明他們的距離公式就是 d(A,B)，因此「直線」長度無限。他們覺得他們的世界無邊無界，因為他們永遠到不了邊。雖然我們看著他們明明是在歐氏空間中，但他們所研究的幾何首先一定是雙曲非歐幾何，因為在他們的世界中，過直線外一點可以有無窮條平行線。
各式各樣的模型不但證明了平行公理的獨立性（亦即不能由其他公理導出），也證明了各種非歐幾何的（相對）一致性，使得這些幾何的地位和歐氏幾何一樣，正式成為數學的分支。既然考慮各種公理系統不但可以整理數學知識，而且可以發展許多數學分支，數學公理化的方法與精神逐漸滲透到數學的各個角落裏，而成為二十世紀數學的一個特色。更有甚者，物理世界到底符合數學中的哪種幾何當然就不能先驗了，當然要由物理條件來決定。這對哲學與認知也是一大衝擊。
想證明看起來毫無疑問的平行公理，好像是哲學家與數學家的無聊與多餘。二千年後，參透了平行公理，引發了非歐幾何，其所帶給哲學、科學與數學的影響卻絕非當初所能想像得到的。
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| 編輯：陳文是 | 最後修改日期：4/29/2002 |
