從圖一到圖五我們用最粗淺的方法已經把包含四個控制因子(t,u,v,w)，藉用位函數
 所考慮出來的基本劇變(elementary catastrophe)模型介紹完畢。這個數學模型通常就叫做蝴蝶點劇變(butterfly catastrophe)模型。我們已知v為分裂因子，w為正則因子，u為偏向因子，至於t我們喜歡把它稱為蝴蝶因子(butterfly factor)，原因很簡單，t的變動會影響蝴蝶形之是否出現:當t由0變到負值時，蝴蝶形開始出現，t變成愈大的負值，蝴蝶形也愈顯著。這除了原來存在的兩個極小(上下兩層)之外。有一個新的，介於兩者之間的極小出現。這個在M中有點像V形口袋的中層極小通常稱為折衷袋(compromise pocket)。它的出現常常能使兩種互相對立的意見達到協調。
例如我們從新來思考第二篇之中已經詳細解說了的實例，我們把一個民主政府的決策變化看成是按照一個尖點劇變模型所發生的變化。那時我們只考慮兩個控制因子，費用(cost)是個分裂因子，受威脅程度是個正則因子。但是如果我們比較仔細分析，其實影響政府決策的因子還有: 1.受攻擊的難易程度:如果一個國家高度工業化，而且制空權完全掌握在敵人手中，則大家會特別考慮到國家很容易受到空襲而致癱瘓，因此會有較多的人傾向於講和妥協，但是如果這國家是個農業國，而且有廣大的幅員，險要的地形易於防守又不受攻擊所癱瘓，則會有較多的人傾向於不惜一戰。因此我們假設這個受攻擊難易程度的因子為一個偏向因子。2.時間: 時間常常是改變民意曲線的重要因素。特別當費用、或威脅性以及受攻擊難易程度都是中等之時，常常民眾會對於戰爭感到厭煩，但卻又不想撤退或投降，因此就有愈多的人贊成談判停火，這是一個介於鷹派與鴿派之中的折衷派意見，因此我們可以假設時間為一個蝴蝶因子。
在這四個因子的影響下，我們考慮
 。保持圖一到圖五所有圖形，只是把所有極大改為極小，極小改為極大，便得出民主政府決策的變化是依照一個蝴蝶點劇變模型而變化。在很多的應用上常是這樣，決策者終於放棄了兩個互相對立的政策而採行一個折衷的政策，因為這時正則、分裂以及偏向因子都不太顯著，因此使得蝴蝶因子相應地顯出它的功用來。注意在一個蝴蝶點劇變模型裏，當正則及分裂因子很強時，蝴蝶因子就顯不出其功能了。
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