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.原載於科學月刊第二卷第三期
.作者當時任教於中央數學系

註釋
 

完全數與莫仙尼質數

張鎮華

 
 


完全數及數的個性

有一位數學老師問另一位音樂老師:「音樂堨u有七個音,你為什麼要花一生的時間去研究呢?」音樂老師遲疑了一下,反問道:「數學媕Y也只有十個數字,你又為何研究一輩子不清楚呢?」當然我們知道,音樂除了七音外,還有高低節奏等問題;數學除了數字以外,還有更抽象的符號,邏輯的架構。但是那位音樂老師的話,並不完全錯誤。我國古代用算盤計算數字,聰明的數學家製造出各種不同的魔方陣,今天,電子計算機快速算著各種巨大繁雜的數字。凡此種種,都足以表示,十個阿拉伯數字所排出來的東西多麼重要,人們對它充滿興趣。於是許多有用的,或這有趣的事物,遂應運而生。完全數 (Perfect Number) 就是一個古老而富有趣味的理論,以下我就針對這個題目,及有關的問題做一番討論。

數字和人一樣,也具有各種不同的個性。人有高矮、肥瘦、美醜和好壞之分。數字也類似地被賦予許性格。根據畢氏 (Pythagoras) 一派的說法,1 是萬物本源,1 生 2,2 生 3,類推可以得到無窮多數目;4 代表人的心靈,是一個最完滿的數;它們又把整數分成奇數和偶數兩類,易經上就有陰數和陽數的相似說法。此外,還有平方數、立方數、三角數、質數、合成數、完全數和互完數等不同的名詞。

G.H. Hardy(1887∼1947)曾經寫了一則故事,描述印度數學家 Ramanujan(1887∼1920),說明他能用各種幾乎辦不到的方法,記住各種數目的特性。有一次,Ramanujan 生病了,Littlewood 到 Putney 地方去看他,坐的計程車號碼是1729,他覺得這是一個難記住的數目,到了他那裡,就把這件事告訴他,他馬上反駁說:「那裡的話,1729是一個很有趣的數字,它是能用兩種方法表示為兩個數的立方和的最小數目。」這個故事把數字的個性說得最透徹 1

完全數這個名詞很早就為人所熟悉,而且特別偏好。St. Augustine 曾說:「上帝在六天堻迣y了宇宙萬物,因為六是一個完全數。」現在世界各國的曆制,都採用一星期七天,就是要工作六天,休息一天。

那麼你或許要問,完全數是什麼呢?完全數是指一個自然數且滿足以下的性質,即小於它的一切因數和等於這個數本身。

第一個完全數是

6 = 1+2+3

其次我們得到

28 = 1+2+4+7+14

再下去的完全數是

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

如果有人想用實驗的方法,再繼續找下去,必定不能得到很好的效果。畢氏學派的數學家 Nichomachus(BC 100),花了不少心血,到後來研究出「雖然善和美並不常在,但尚易尋求;至於醜和惡,卻比比皆是。」事實上,再下面兩個完全數是 8128 和 33550336,不見得容易尋求。這並不是說,一切已經絕望。試著運用觀察法尋求規律性,也許可以得到一些有用的東西。

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
6 = 2 \times 3 = 2^1(2^{1+1} -1) \ [3]
2...
...+1} -1) \ [3]
496 = 16 \times 31 = 2^4(2^{4+1} -1)
\end{array}\end{displaymath}

觀察上面三個式子,可以發現一個通性,或許具有 2n(2n+1-1) 型式的數是完全數。但是當 n=3

23 (23+1 -1) = 23 * 15 = 120

這個數並不是完全數。因此,我們更進一步要注意 2n+1 -1 的性質,當 n=1,2,42n+1 -1 是質數,n=32n+1-1 是合成數,關鍵就在這堣F。歐基里得(Euclid, 365?∼275?B.C)在他的《原本》(Element) 中,證明了這個猜測。

完全數第一定理:
2n+1 -1 是質數,則 2n(2n+1 -1) 是完全數。

證: 令 P 表示質數 2n+1 -12n p 的因數(小於 2n p 本身的)有

\begin{displaymath}1,2,2^2, \cdots , 2^n , 2p , \cdots , 2^{n-1} p \end{displaymath}

它們的和

\begin{displaymath}
S = (1+2+ \cdots \cdots + 2^n) + p(1+2+\cdots \cdots + 2^{n-1})
\end{displaymath}

幾何級數

\begin{displaymath}1+2+2^2 + \cdots \cdots + 2^n = 2^{n+1} -1 \end{displaymath}

因此得

\begin{eqnarray*}
S &=& (2^{n+1} -1) + p(2^n -1) = p + p(2^n -1) \\
&=& 2^n p
\end{eqnarray*}


此數為完全數得證。

由第一定理得到的完全數都是偶數。是不是有奇完全數,這個問題沒有人知道,下面我們還會談到,至於是否還有其它的偶完全數,尤拉(Euler, 1707∼1783)給我們一個完滿的答案。

完全數第二定理:
偶完全數必定呈 2n(2n+1 -1 ) 的型式,其中 2n+1 -1 為質數。

證: 令偶完全數 $ \alpha = 2^n p $ ,其中 n 為自然數,p 為奇數。α 的一切因數和(包括 α 本身)為

\begin{eqnarray*}
S &=& (2^n \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \...
...ontseries{m}\selectfont \char 184}}) \\
&=& (2^{n+1} -1 )(d+p)
\end{eqnarray*}


其中 d 表示 p 的一切真因數和(不包括 p 本身)。

因為 $\alpha $ 是完全數,因此

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
\alpha = S - \alpha \qquad \mbox{{\fontfami...
...2 \alpha \\
(2^{n+1} -1)(d+p) = 2\alpha = 2^{n+1}p
\end{array}\end{displaymath}

化簡得到 p = (2n+1 -1 )d

其中 2n+1 -1 >1,而且 dp 的因數,亦為真因數。

d 又是 p 的一切真因數的和,可見 p 為質數, d=1

\begin{displaymath}
P = (2^{n+1} -1 )d = 2^{n+1} -1 \mbox{ {\fontfamily{cwM1}\fo...
...\char 98}{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 1}}
\end{displaymath}

所以偶完全數 $\alpha = 2^n ( 2^{n+1} -1)$,其中 2n+1 -1 為質數。

 
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編輯:康明軒 最後修改日期:2/17/2002