淺談 Stokes' 定理與電磁學 (第 4 頁)

　1│2│3│4│5　

淺談 Stokes' 定理與電磁學（第 4 頁）

邵錦昌
記錄：李啟鈴

首頁 | 搜尋

．原載於數學傳播第十八卷第四期
．作者當時任教於交大應數系
‧對外搜尋關鍵字

4. 波動現象

現在再花一點時間說明一下波動現象, 我們看一下(11)、(12)這兩個方程式, 從 $\nabla \cdot \overrightarrow{B}=0$ , 和剛剛所提一個東西的 divergence 如果等於0, 則它一定是一個curl, 所以 $\overrightarrow{B}$ 可以寫成 $\overrightarrow{B}=\nabla \times \overrightarrow{A}$ , 我們再看 $\nabla \times \overrightarrow{E}+ {1\over c} {\partial\over \partial t} \overrightarrow{B}=0$ , 將剛剛的結果代入, 再把 curl 全部提出來, 得到 $\nabla \times (\overrightarrow{E}+ {1\over c} {\partial \overrightarrow{A}\over \partial t})=0$ , 先前我們又提過, 一個東西的curl 等於0的話, 那麼它本身一定是一個gradient, 所以 $\overrightarrow{E}+ {1\over c} {\partial \overrightarrow{A}\over \partial t}=-\nabla \phi$ , 這裡的負號只是為了方便, 如此一來得到一組方程式

$\begin{displaymath}\cases{\overrightarrow{B} = \nabla \times \overrightarrow{A}&... ... c}{\partial \overrightarrow{A}\over \partial t}&\hfill(30)\cr}\end{displaymath}$

式中 $\overrightarrow{A}$ 叫做 vector potential， $\phi$ 叫做 scalar potential，我們將(29)、(30)代入(9)、(10)得到 A 和 $\phi$ 的方程式。

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \nabla^{2} \phi + {1\over c^2}{\partial\o... ...\over c}\overrightarrow{J} \qquad \hfill \quad (32) \end{array}\end{displaymath}$

我們可以設法使 $\nabla \cdot \overrightarrow{A}+ {1\over c}{\partial \phi\over \partial t}=0$ ,因為A和 $\phi$ 都並不唯一, 如果 $\overrightarrow{B}=\nabla \times \overrightarrow{A}$ 那麼另外一個函數 $\overrightarrow{A}+\nabla \lambda$ 的curl也是等於 $\overrightarrow{B}$ , 而如果 $\phi$ 也同時換成 $\phi - {1\over c} {\partial \lambda\over \partial t}$ 的話, $\overrightarrow{E}$ 也不會改變, 所以我們總是可以選擇適當的λ, 使得 $\nabla \cdot \overrightarrow{A}+ {1\over c}{\partial \phi\over \partial t}=0$ , 剩下的方程式, 就是所謂的wave equation, c是這個波的速度, 即波速, 實驗量出來的結果,c正好等於光速, 所以Maxwell就說光是一種電磁波, 當然Maxwell以前已經有物理學家說光是一種波動, 但是並不曉得光是電磁波, 所以Maxwell的發現, 當然是一種劃時代的發現。

　1│2│3│4│5　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：4/26/2002