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本節中我們再來看幾個典型又有歷史性的分枝現象。
- 例1：平流 (Laminar flow) 到紊流 (Turbulent flow)：
- 若觀察水管、水溝或江河中的水流。當水流的流速小時，水流就較平而有序。
而當流速增大，則漸漸成複雜的水流，終至波濤洶湧。
此時，以流速當參數 λ，則水流的型式依 λ 的增加由簡入繁。
早些年，蘇俄的物理學家 Landau 就提出從平流到紊流的一個模型：
經無窮多次的分枝所造成的現象。但近年來的數學理論及流體力學觀測，
似乎不必經過無窮多次的分枝，即可到達非常複雜的混沌 (Chaos) 狀況，請見下面二例。
- 例2：大氣預測與勞倫茲吸子 (Lorenz attractor)：
- 勞倫茲在研究大氣物理時，把描述流體運動的 Navier-Srokes 方程簡化成含三個未知函數的非線性常微分方程組。
中間含有物理參數λ等。他發現這個看起來不起眼的三個方程組，
竟然表現出與通常二個未知函數的非線性方程組有極大的差異。
在他的三個方程組問題裡，可能一開始兩個相差一點點的初期狀態 (initial state)。
到後來，在歷經複雜的軌跡後，有很大的差異。
從而得到要長期預測天氣幾乎是不可能的事!詳見參考資料2。
- 例3：疊代映射(Iteration Map)：
- 考慮有一個由閉區間[0,1]映射到它自己的連續函數f(x)。今用疊代法去計算：
而令x0為給定的0與1間的初始值。
若有一 [0,1]及正整數p使得疊代p次後有
 且
 ， 且
 。
則稱為 週期p的解。
若取f(x)=x(1-x),
![$\lambda \in[1,4]$](img55.gif) 。漸漸地，變大λ，
則可找到週期 2,4,8,…,2n 的週期解。而李天岩教授及其老師 J. Yorke 更發現，
若有週期 3 的解，則有混沌出現。詳見「參考資料 2」及李教授在本刊的文章(47期及51、52期)。讀者也可自己用 PC 玩玩看上述的有趣的疊代現象。
- 例4：受驚嚇的狗：
- 野狗人見人厭也人見人怕。但野狗也會怕惡人。當一條野狗在外頭碰到一個做勢要打牠的惡人時，
常常地，野狗會夾著尾巴，閃到一旁。但是惡人真的會打牠，而牠又無處可逃時，
往往野狗會由驚怕進而發怒而反擊此惡人。俗語說「狗急跳牆」。但若牆太高，
跳不過而人又逼得太急，只好咬人衝開一條血路了。
此中攻擊與反應常可用下面的分枝圖來表示。λ表示惡人威脅的程度，
而θ表示野狗的反應：
圖3
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圖3裡，當惡人的威脅還不到臨界點  時，野狗是在怕的狀態，能逃則逃。
但狗若覺得牠受到的威脅已經無法忍受時，即
 ，則在驚怒之下，
只好放牙一摶了。相當於在圖3中由狀態 D 直接跳上狀態 E。
所以我們最好謹記老祖宗的名言「得饒狗處且饒狗」。
這種突然產生非常激烈反應的變化，在生物及社會科學上是常見的。
如男女朋友間突然的來電。或個人因挫折、失望、羞辱進而發怒、尋仇、報復等等皆是。
所謂「老羞成怒」即是。只是這些科學，很難量化，
因此很難判定兩間敵意發展到什麼程度就走向戰爭，
或人民不滿到什麼程度就會起而革命。
但這種突然激烈反應的現象在劇變理論 (Catastrophe Theory) 裡有所討論。
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