分枝現象與理論 (第 2 頁)

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分枝現象與理論（第 2 頁）

林松山

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．原載於數學傳播十五卷四期
．作者當時任教於交通大學應數系、所
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2、簡單的分枝理論

圖1牽涉到兩個量 $(\lambda,\theta)$ ，因為我們設想此圖中的A,B,C三枝，皆為方程式

$\begin{displaymath} F(\lambda,\theta)=0\eqno{(1)} \end{displaymath}$

的解。F為平滑函數，對λ及θ皆可微分任意多次。

首先，我們先來觀察F在λ為臨界時，是否有特異之處。為簡便起見，我們只看A變B的情形，即 $(\lambda_1,0)$ 附近F的行為。因為一開始假設A為(1)之解，因此對任一 $\lambda>0$ 皆有

$\begin{displaymath} F(\lambda,0)=0\eqno{(2)} \end{displaymath}$

因此，對任一 k 皆有，

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \frac{\partial F}{\partial\lambda}(\lambda,0... ...l^kF}{\partial\lambda^k}(\lambda,0)=0 \end{eqalign} \eqno{(3)} \end{displaymath}$

現在，我們若把 F 在點 $(\lambda_0,0)$ 做二次的泰勒展式，並利用(2)及(3)，即可得到：

$\begin{displaymath} F(\lambda,\theta) &= \frac{\partial F}{\partial\theta}(\lam... ...mbda-\lambda_0)+a_{02}\theta^2+R^2(\lambda,\theta) \eqno{(4)} \end{displaymath}$

此處

$\begin{eqnarray*} a_{11}&=& \frac{\partial^2 F}{\partial\lambda\partial\theta}(\... ...&=& \frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial\theta^2}(\lambda_0,0) \end{eqnarray*}$

為泰勒係數而 $R_2(\lambda,\theta)$ 為二次泰勒餘式。

在(4)中，最低次項為 $\frac{\partial F}{\partial \theta}(\lambda_0,0)$ ，其是否為0密切地影響著(1)的解。因此我們需分成下面兩種情況來討論：

$\begin{eqnarray*} &\mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 56}\h... ...har 148}(ii):}&\frac{\partial F}{\partial \theta}(\lambda_0,0)=0 \end{eqnarray*}$

若情況(i)發生，利用隱函數定理，則(1)的解在 $(\lambda_0,0)$ 附近可唯一的解出並可寫成 $\theta=\theta(\lambda)$ 。另一方面 $\theta\equiv 0$ 為(1)之解。故 $\theta(\lambda)\equiv0$ 。亦即在情況(i)之下在 $(\lambda_0,0)$ 處不會有分枝現象發生。所以分枝現象若要發生，必定在情況(ii)。

現在假設在 $(\lambda_c,0)$ 處有情況(ii)發生，亦即

$\begin{displaymath}\frac{\partial F}{\partial \theta}(\lambda_c,0)=0\eqno{(5)}\end{displaymath}$

此時，我們稱F在 $(\lambda_c,0)$ 退化(degenerate)。我們接著繼續討論(1)是否在此退化點產生分枝。代(5)式進入(4)式中，我們可得：

$\begin{displaymath} F(\lambda,\theta) = \theta\{a_{11}(\lambda-\lambda_c) + a_{02}\theta + \tilde{R}_2\}\eqno{(6)} \end{displaymath}$

此處

$\begin{displaymath} \tilde{R}_2=\frac{R_2(\lambda,\theta)}{\theta}, \mbox{{\font... ...M1}\fontseries{m}\selectfont \char 231}} a_{11}\neq0\eqno{(7)} \end{displaymath}$

利用隱函數定理，(6)式裡大括號內為零的解可唯一地解出並寫成 $\lambda-\lambda_c = g(\theta)$ 。進一步，若

$\begin{displaymath} a_{02}\neq0,\eqno{(8)} \end{displaymath}$

則 $g(\theta) = m\theta + g_1(\theta)$ ，此處，而 $m = -\frac{a_{02}}{a_{11}} \neq 0$ ，而 g₁(0) = g'₁(0) =0。亦即我們有下列的分枝圖：

(m>0)

(m<0)

很明顯地，條件(8)立時，所得的圖2與圖1不同。因此若要得圖1，我們必須要求

$\begin{displaymath} a_{02}=0.\eqno{(9)} \end{displaymath}$

在此情形下，我們需要看三次的泰勒展式：

$\begin{eqnarray*} F(\lambda,\theta)&=&\theta\{a_{11}(\lambda-\lambda_c)+a_{12}(\... ...lambda-\lambda_c)^2+a_{03}\theta^2+\tilde{R}_3(\lambda,\theta)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{displaymath}\eqno{(10)}\end{displaymath}$

此處，a_ij，i+j=3，為F在 $(\lambda_c,0)$ 三次泰勒展式的係數， $\tilde{R}_3$ 為三次泰勒餘式除θ上。當

$\begin{displaymath} a_{03}\neq0,\eqno{(11)} \end{displaymath}$

則(10)式裡大括號的解可唯一寫成

$\begin{displaymath} \lambda-\lambda_c=l\theta^2+g_3(\theta),\eqno{(12)} \end{displaymath}$

此處 $l=-\frac{a_{03}}{a_{11}}\neq0$ 而 g₃(0)=g'₃(0)=g''₃(0)=0。如此，當 l>0，在 $(\lambda_c,0)$ 處我們得到如同圖1在 $(\lambda_1,0)$ 處的分枝圖。若 l<0，則分枝圖開口向左，圖形在 $\lambda<\lambda_c$ 。

綜觀上述的討論。當條件(7)成立時，在 $(\lambda_c,0)$ 皆能長出新的分枝來。我們通常稱條件(7)為交叉條件(transversality condition)。總結來說，F在 $(\lambda_c,0)$ 退化，亦即滿足條件(5)，是在 $(\lambda_c,0)$ 分支的必要條件。一般而言，單單退化不見得一定會分枝。但是若F在 $(\lambda_c,0)$ 退化且交叉，即同時滿足條件(5)及(7)，則必有分枝在 $(\lambda_c,0)$ 發生。因此(5)及(7)是分枝的充分條件。

當然，若條件(11)不成立，亦即a₀₃=0，則需要考慮四次的泰勒展式。若(7)不成立，即a₁₁=0，則整個討論將更形繁雜。此方面的探討，通常以奇值理論(Singularity Theory)名之。

再回顧一下本節所用的數學方法裡只有兩個重點，一為泰勒展式（即本期田光復教授稱為分析之 Heart），另一為隱函數定理。隱函數定理在高等微積分，甚至在微積分都學過，在分析裡是非常有用的定理，經常可見其芳蹤。

在第1節中金屬棒的彎曲現象，可用下述的簡化模型來描述：

$\begin{displaymath} u''(x)+\lambda\sin u(x)=0, x \in(0,1)\eqno{(12)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} u(0)=0=u(1)\eqno{(13)} \end{displaymath}$

此常微分方程有時稱為歐拉變形方程(Euler buckling equation)。此處參數λ與力量的大小及金屬棒的彈性有關。u(x)與變形的程度有關。其解，我們可以用橢圓函數完全寫出。另一方面，我們也可用分枝理論來處理。此時，分枝的點出現在其相應的線性固有值方程

$\begin{displaymath} V''(x)+\lambda V(x)=0, x \in(0,1)\eqno{(14)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} V(0)=0=V(1)\eqno{(15)} \end{displaymath}$

的固有值 $\lambda_n=n^2\pi^2$ 處。 $u\equiv0$ 表示不變形的狀態。有關分枝理論的數學書可參閱參考資料1。

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編輯：寸盈敏 ∕ 校對：黃怡碧 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：6/17/2002