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.原載於數學傳播第十五卷第一期
.作者當時任教於台大數學系
 

向量外積與四元數

李白飛

 
 


1. 向量的外積

有「內積」就應該有「外積」,聽起來似乎理所當然, 其實並不盡然,只有三維空間中,才有外積的定義。 再說「內」、「外」之分, 似乎是歷史的錯誤;兩個向量的內積,並不是個向量,而是個純量(數), 然而兩個三維向量的外積,卻仍是個向量,絲毫不見「外」。

在三維空間中,兩個向量的外積,可以自然地描述,也可以藉由座標來定義。 設 $\vec{a}$,$\vec{b}$ 為空間中兩個不平行的非零向量, 其外積 $\vec{a}\times\vec{b}$ 為一長度等於 $\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$,(θ為 $\vec{a}$,$\vec{b}$ 兩者交角,且 $0<\theta<\pi$), 而與 $\vec{a}$,$\vec{b}$ 皆垂直的向量。通常我們採取「右手定則」, 也就是右手四指由 $\vec{a}$ 的方向轉為 $\vec{b}$ 的方向時,大拇指所指的方向規定為 $\vec{a}\times\vec{b}$的方向。例如在右手系的空間座標中, 若 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 分別代表 x軸、y軸、z 軸正向的單位向量,則

\begin{displaymath}\vec{\imath}\times\vec{\jmath}=\vec{k},\quad \vec{\jmath}\tim...
...ec{k}=\vec{\imath},\quad
\vec{k}\times\vec{\imath}=\vec{\jmath}\end{displaymath}

另外,顯而易見的是, $\vec{a}$,$\vec{b}$ 的外積與其次序有關, $\vec{b}\times\vec{a}$ 並不等於 $\vec{a}\times\vec{b}$; 事實上, $\vec{b}\times\vec{a}=-\vec{a}\times\vec{b}$。當$\vec{a}$,$\vec{b}$ 中有一個零, 或者兩者平行時,則令 $\vec{a}\times\vec{b}=0$

如果選定一組座標系, $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 為對應的三正交單位向量,則 $\vec{a}$$\vec{b}$ 的外積,可藉由其分量表示出來: 若 $\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$$\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$,則

\begin{displaymath}
\vec{a} \times \vec{b}
= (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\imath}
+ (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\jmath}
+ (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{k}
\end{displaymath}

假使我們借用行列式的符號,不妨把它寫成

\begin{displaymath}
\left\vert\begin{array}{ccc}
\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \...
..._2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3
\end{array} \right\vert
\eqno{(*)}
\end{displaymath}

不但容易記,而且也可以經由行列式的性質,驗證一些外積的性質。

這兩個方法,各有千秋,前者易懂,後者好算。借助於座標化, 我們可以透過機械的運算(可能繁但不會難),驗證一些類似

\begin{displaymath}
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} + (\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}
+ (\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0
\end{displaymath}

的複雜式子。即使只知道定義,你一樣可以驗證,然而自然的描述法,就很難辦到。 不過,引進座標系來定義,終不免有個疑慮,那就是:選擇不同的座標系,會不會導致不一樣的外積?

由行列式的性質可知,若將 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 分別代以a1, a2, a3b1, b2, b3,則(*)之行列式等於 0,也就是說 $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$。換句話說, $\vec{a}\times\vec{b}$$\vec{a}$,$\vec{b}$ 兩向量都正交。 另外

\begin{eqnarray*}
&&\vert\vec{a}\vert^{2}\vert\vec{b}\vert^{2}-(\vec{a}\cdot\vec...
...b_2 -a_2 b_1 )^{2} \\
&=& \vert\vec{a} \times \vec{b}\vert^{2}
\end{eqnarray*}


而我們知道, $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$,因此, $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$,總而言之, $\vec{a}\times\vec{b}$ 為一長為 $\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$,而與 $\vec{a}$,$\vec{b}$ 皆正交的向量,可見與座標系的選取無關。

外積的運算,與一般的乘積,有同有不同。相同的是,分配律成立:

\begin{displaymath}\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\t...
...\vec{c})\times\vec{a}=\vec{b}\times\vec{a}+\vec{c}\times\vec{a}\end{displaymath}

不同的是,交換律與結合律並不成立。 (試舉一例,說明 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ 不必等於 $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$!) 取而代之的是,反交換律 $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ 及 Jacobi 恆等式

\begin{displaymath}
(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c} + (\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}
+ (\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0
\end{displaymath}

另外,純量與向量的混合結合律則無問題:

\begin{displaymath}
\alpha(\vec{a}\times\vec{b})
= (\alpha\vec{a})\times\vec{b} = \vec{a}\times(\alpha\vec{b})
\end{displaymath}

現在,我們來看一些簡單的應用:

[例1] 正弦定律
如下圖 $\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}$,故 $\vec{c}\times\vec{c}=\vec{c}\times(\vec{b}-\vec{a})$$0=\vec{c}\times\vec{b}-\vec{c}\times\vec{a}$,故 $\vec{c}\times\vec{b}=\vec{c}\times\vec{a}$, 從而 $\vert\vec{c}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\alpha=\vert\vec{c}\vert\vert\vec{a}\vert\sin\beta$,因此 $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$



[例2] 平行六面體的體積
如下圖, $\vec{b}\times\vec{c}$ 垂直於底面,即 $\vec{b}$$\vec{c}$ 所生成的平面,其長 $\vert\vec{b} \times \vec{c}\vert$ $= \vert\vec{b}\vert \ \vert\vec{c}\vert \sin \theta$,也就是底面平行四邊形的面積,因此 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ $=\vert\vec{a}\vert \ \vert\vec{b} \times \vec{c}\vert \cos \alpha$, 而 $\vec{a}\cos\alpha$ 即為高 h,故 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ 代表 $\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$ 三向量所張之平行六面體的體積。



$\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$$\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$$\vec{c}=c_1\vec{\imath}+c_2\vec{\jmath}+c_3\vec{k}$,則

\begin{eqnarray*}
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
&=& (a_1\vec{\imath}+a_2\ve...
...3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right\vert
\end{eqnarray*}


又,由行列式的性質,易知 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ $=(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$

[例3]平行四邊形與三角形之面積
在例2中,若取 $\vec{a}$ 為垂直於底面之單位向量,則平行六面體之體積,即底面平行四邊形之面積。因此,$\vec{b}$,$\vec{c}$ 二向量所張之三角形面積,即為此三重積 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})$ 之半。

例如,平面上三點 P1(x1,y1)P2(x2,y2)P3(x3,y3) 所形成之三角形面積可計算如下:取 $\vec{b} = \overrightarrow{P_1 P_2}$ $= (x_2 - x_1) \vec{\imath} + (y_2-y_1) \vec{\jmath}$$\vec{c}=\overrightarrow{P_1P_3}$ $= (x_3-x_1) \vec{\imath} + (y_3-y_1) \vec{\jmath}$,而 $\vec{a}=\vec{k}$, 則

\begin{eqnarray*}
\Delta P_1P_2P_3
&=& \frac{1}{2}
\left\vert
\begin{array}{ccc}...
...& 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}\right\vert
\end{eqnarray*}


[例4]平面方程式
P1(x1,y1,z1)P1(x2,y2,z2)P3(x3,y3,z3) 為空間中不共線三定點, P(x,y,z) 為空間中任一點,則 P1,P2,P3 所決定之平面上,其充要條件為 $\overrightarrow{P_1P}$$\overrightarrow{P_1P_2}$$\overrightarrow{P_1P_3}$ 所張之平面六面體之體積為 0。換言之,

\begin{displaymath}
\left\vert\begin{array}{ccc}
x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\
x_2...
...z_1\\
x_3-x_1& y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array} \right\vert =0
\end{displaymath}

P1,P2,P3所決定之平面方程式。

這個方程式還可以這樣看:

\begin{displaymath}
\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}
=\left\...
...2-z_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1
\end{array} \right\vert
\end{displaymath}

$\overrightarrow{P_1P_2}$$\overrightarrow{P_1P_3}$ 皆垂直,故為此一平面之一法線向量, 而此面又通過 P1 點,因此 $\overrightarrow{P_1P} \cdot (\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3})=0$

前面我們引進了 $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$ 這種純量值的三重積, 現在我們考慮另一種向量值的三重積 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$, 我們可以證明 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$= $(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$, 從而Jacobi恆等式立即得證:

\begin{eqnarray*}
& &(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\...
...\vec{c}\cdot\vec{b})\vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\\
&=&0
\end{eqnarray*}


這個式子,我們自然可以將 $\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$$\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$$\vec{c}=c_1\vec{\imath}+c_2\vec{\jmath}+c_3\vec{k}$ 代入驗證。如果利用內積和外積的線性(分配律和混合結合律),當然簡化到只須檢查 $\vec{a}$, $\vec{b}$,$\vec{c}$ 為座標單位向量 $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 就夠。然而機械式的演算,到底難以深刻地瞭解與記憶,因此,我們從另一個角度來分析。

假設 $\vec{a}$,$\vec{b}$ 為二不平行的非零向量,則 $\vec{a}\times\vec{b}$$\vec{a}$$\vec{b}$ 皆正交, 而 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ 則又與 $\vec{a}\times\vec{b}$ 正交, 因此必須與 $\vec{a}$,$\vec{b}$ 所張的平面平行, 也就是說 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$, 又因 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$$\vec{c}$ 也正交, 故 $x(\vec{a}\cdot\vec{c})+y(\vec{b}\cdot\vec{c})=0$

$\vec{c}$$\vec{a}$,$\vec{b}$ 皆不正交,則有

\begin{displaymath}
\frac{-}{(\vec{b}\cdot\vec{c})}
= \frac{y}{(\vec{a}\cdot\vec{c})} = \lambda \; ,
\end{displaymath}

因此

\begin{displaymath}
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}
= \lambda \big[ (\v...
...cdot\vec{c})\vec{b}
- (\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a} \big] \; .
\end{displaymath}

$\vec{b}=\vec{c}$ 的特別情況時,不難看出 $\lambda=1$, 也就是說 $(\vec{a} \times \vec{c})\times\vec{c}$ $= (\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{c}-(\vec{c}\cdot\vec{c})\vec{a}$: 因為兩邊分別與 $\vec{a}$ 作內積, 則得 $(\vec{a} \times \vec{c})\times\vec{c}\cdot\vec{a}$ $=\lambda \big[ (\vec{a}\cdot\vec{c})^2 -
(\vec{c}\cdot\vec{c})(\vec{a}\cdot\vec{a}) \big]$; 因此

\begin{displaymath}
\lambda \big[ (\vec{a}\cdot\vec{c})^2 - \vert\vec{a}\vert^2 ...
...c} \times \vec{a})
= -\vert\vec{a} \times \vec{c}\vert^2 \; ,
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
-\vert\vec{a}\vert^2 \vert\vec{c}\vert^2 \cdot \sin^2 \theta...
...bda \vert\vec{a}\vert^2 \vert\vec{c}\vert^2 \sin^2 \theta \; .
\end{displaymath}

從而 $\lambda=1$

至於一般情況, 可將 $(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ $=\lambda[(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}$ $-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}]$ 兩邊與 $\vec{b}$ 作內積而得:

\begin{eqnarray*}
& &\lambda[(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{b})-(\vec{b}...
...(\vec{a}\cdot\vec{c})-(\vec{c}\cdot\vec{b})(\vec{a}\cdot\vec{b})
\end{eqnarray*}


$\lambda=1$

[例5]
$\vec{a}$,$\vec{b}$ 為二已知向量,且 $\vec{a}\neq0$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$, 又設 c 為一已知實數,試求一向量 $\vec{v}$,使其滿足 $\vec{a}\cdot\vec{v}=c$

[解]
$\vec{v}$ 為所求之向量,則 $\vec{a}\times\vec{b}$ $=\vec{a}\times(\vec{a} \times \vec{v})$ $=(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{a})\vec{v}$ $=c\vec{a}-\vert\vec{a}\vert^2\vec{v}$, 故 $\vec{v}=\frac{1}{\vert\vec{a}\vert^2}(c\vec{a}-\vec{a}\times\vec{b})$, 代入檢驗,確實滿足。

 
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編輯:張觀洋 / 校對:陳文是 / 繪圖:簡立欣 最後修改日期:4/26/2002