本篇雖名為「 π 是什麼?」， 但塞爾日．藍的更深用意無疑是在介紹面積理論的基本輪廓。 面積理論從長方形談起， 然後及於三角形 ，以至於一般的曲線形， 這種處理方法是符合起源教學法原則的； 還有，它在數學史上也不乏先例。 比方說，《九章算術》第一章「方田」在排比面積公式時， 就是遵守這樣的順序，雖然理論的建立是後來的事。 底下我們先把「方田」章中的有關面積公式列舉出來， 然後再做進一步的討論。請注意此處的題號與原書所列順序一致， 至於跳號則是因為我們略過一些此較次要的內容。

(一)今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何?答曰:一畝。

(二)又石田廣十二步，從十四步。間為田幾何？ 答曰:一百六十八步。
方田術曰:廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。

(二五)今有圭田廣十二步，正從二十一步。 問為田幾何?答曰:一百二十六步。

(二六)今有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二。 間為出幾何?答曰:二十三步六分步之五。
術日:半廣以乘正從。

(二七)今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步， 正從六十四步。問為田幾何? 答曰:九畝一百四十四步。

(二八)又有邪田，正廣六十五步， 一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何?答 曰:二十三畝七十步。術曰:并兩邪而半之，以乘正從若廣。 又可半正從若廣，以乘并。畝法而一。

(二九)今有箕田，舌廣二十步，踵廣五十步， 正從三十步。問為田幾何?答曰:一畝一百三十五步。

(三十):又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步， 正從一百三十五步。問為田幾何？ 答曰:四十六畝二百三十二步半。
術曰:并踵舌而半之，以乘正從畝法而一。

(三一)今有圓田，同三十步，徑十步。 問為田幾何?答曰:七十五步。

(三二)又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三兮步之一。 問為田幾何?答曰:十一畝九十步十二分步之一。
術曰;半周半徑相乘得積步。
又術曰:周徑相乘，四而一。
又術曰:徑自相乘，三之，四而一。
又術曰:周自相乘，十二而一。

(三五)今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？ 答曰:一畝九十七步半。

(三六)又有弧田，弦七十八步二分步之一， 矢十三步九分步之七。問為田幾何？ 答曰:二畝一百五十五步八十一分步之五十六。
術曰:以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一

(三七)今有環田，中周九十二步，外周一百一十三步， 徑十二步之二。間為田幾何?答曰:四畝一百五十六步四分步之一。
術曰:并中外周而半之，以徑乘之得積步。

以上所給出的面積公式依序式：

長方形(例子見(一)、(二)題)──廣從布數相乘得積步。

三角形(例子見(二五)、(二六)題)──半廣以乘正從。

梯形(例子見(二七)、(二八)題)──并兩邪而半之， 以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并。

叫箕田的四邊形(例子見(二九)，(三十)題)──并踵舌而半之， 以乘正從。

圓形(例子見(三一)、(三二)題)──半周半徑相乘得積步； 又周徑相乘，四而一。(按另外兩個為近似公式。)

弓形(例子見(三五)、(三六)題)──以弦乘矢， 矢又自乘，并之，二而一。(按本公式也是近似而已。)

環形(例子見(三七)題)──并中外周而半之，以徑乘之。

當然，僅僅列舉或排比公式是形成不了理論的； 東漢初成書《九章算術》就是幸而有劉徽的註解、證明與系統化， 才不至於只是一本官僚用的算術公式手冊。 其中的面積公式更是經由他對「以盈補虛或出入相補」原理、 極限原理的巧妙運用，而被連貫成一個堪稱圓滿的面積理論。

劉徽是魏晉時人，生平不詳，但他對中國古代數學的貢獻極大， 唐朝算學博士王孝通稱讚他「思極毫芒」， 推許他的著作「一時獨步」。他那極富原創性的《九章算術註》 （附於現傳本的《九章算術》內），的確是他那不朽聲名的最佳註腳。

劉徽在證明三角形的面積公式「半廣以乘正從」時說：

半廣者，以盈補虛為直田也。 亦可半正從以乘廣。按半廣乘從， 以取申平之數。故廣從相乘為積步。

足見他是以長方形（此處他稱為「直田」）面積公式 「廣從步數相乘得積步」為立論起點的。 他的證明方法就是利用「以盈補虛」將三角形轉換成長方形， 然後再經由長方形的面積公式推得三角形的面積公式（請參看下列兩圖）

在中國數學史上，南宋楊輝可能是第一位明文突出長方形面積公式的數學家；在他的《田畝比類乘除捷法》中，楊輝開宗明義就說：

直田長闊相乘，與萬象同。中山劉先生益《益古根源》 序曰：入則諸門，出自直田。 蓋直田能致諸用，而有是說。諸家算經皆以直田為一問，亦默會也。

不過，由於該書的劉徽影響清晰可辨， 所以劉徽的面積理論結構為楊輝所接受， 當然也就毫無疑問的了。

在梯形和叫「箕田」的面積公式的證明上， 劉徽也運用了類似的方法，此處不贅， 請讀者自行參考有關的文獻和資料。 最後，在證明圓面積公式「半周半徑相乘得積步」時， 劉微利用了圓內接正多邊形逼近圓面積的方法， 一方面計算了 π 的近似值， 因為在半徑取單位長時， 圓面積的度量部等於 （塞爾日．藍在本篇談話中曾將半徑 1 的圓面積定義為 π）， 因此計算圓內接正多邊形的面積可以得到 π 的近似值； 而另一方面則在加入極限原理的考慮時， 設法將圓形轉換成半周為從，半徑為廣的長方形， 「故以半周乘半徑而為圓幕。」此外， 劉徽也在這一般注解的脈絡中隱喻了圓周、 直徑與圓周率 r 的正確關係 : 。 所有這些都無法在此做清楚的交代，實在遺憾。 有興趣的讀者不妨參放拙文(「證明圓面積公式的劉徽方法」 （收入拙著《從李約瑟出發》，台北九章出版社，1985年）， 及「綜論劉徽的極限方法及其概念」， 刊《數學研究中心報告──七十二年暑期研討會》， 台大數學系，1984年)。

總之，在劉徽的面積理論架構中， 我們也是一樣可以把「π 是什麼?」 談得有聲有色的。至於要怎麼談才算恰當， 我們可就沒什麼意見了；事實上，教學本來就沒有唯一方法的， 要如何巧妙運用素材，全看教師的慧心了。

劉徽圓面積公式證明的唯一美中不足， 似乎是他的論證並沒有蘊含證明 π 是常數的可能性， 雖然他確知 π 是常數。關於這一點， 台南國立成功大學陳良佐教授有較肯定的意見， 讀者不應錯過他的長篇論文〈九章算術圓田術劉徽注之研究〉， 刊《漢學研究》第四卷第一期， 台北漢學研究資料及服務中心出版，1986年。

塞爾日．藍的圓面積伸縮觀念顯然與歐幾里得(Euclid) 《幾何原本》(The Elements) 的第十二卷的命題 2 相通。 這個命題說：

圓（面積）的比為直徑平方之比。

由此顯然可以證明 π 是常數，不過， 歐幾里得於古典希臘數學的局限，並沒有能夠做到這一點。 還有，歐幾里得也不曾指出圓面積公式究竟是什麼。

在希臘數學史上，最先賦予圓面積公式證明當推 阿基米德(Archimedes)。 在他的著作《圓的度量》(Measurement of a Circle) 中， 阿基米德證明了：

圓的面積等於以該圓半徑和圓周為兩股的直角三角形之面積。

這也正是塞爾日．藍在本篇談話中所證明得到的公式之一。 它的形式與劉徽的「半周半徑相乘」差不多一樣， 所不同的是阿基米德使用了窮盡法來證明，而劉徽則是運用極限法。 後者在精神上頗為接近塞爾日．藍在他的「評論」中所給出的方法。

1631年，阿基米德的這個公式及其證明， 曾經隨著明末徐光啟所譯的「測量全義」傳入中國。 這在該書卷五「圓面求積」中，徐光啟做了很清楚的交代：

凡圓面積與其半徑線，偕半周線作矩內直角形積等。 依此法則量圓形者，以半徑乘半周而已， 古高士亞奇默德（Archimedes, 287?∼212 B.C.）作 《圜書》(Measurement of the Circle)， 內三題洞燭圓形之理，今表而出之，為原本焉。

不過，徐光啟似乎未知劉徽的成果， 理由是《九章算術》從明初就失傳了， 否則他或許可以把阿基米德與劉徽的方法做個比較。 另外值得一提的， 是前述歐幾里得的命題 2 似乎也沒有在當時傳入中國， 因為徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》 （Christopher Clavius 版本）只有前六卷而已。 至於與現在通行的圓面積公式一致的公式， 似乎首先出現在十二世紀著名翻譯家 Gerard of Cremona 的拉丁文譯作 "Verba Filiorum" 上。 這本書的原文是阿拉伯文， 是九世紀阿拉伯著名數學家 Banu Musa 的作品； 在其中，Banu Musa 就使用了這個公式， 而且還指出圓周率乘上直徑會得到圓周。