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漫談布朗運動 (第 3 頁)

李育嘉

 

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.原載於數學傳播第九卷第三期
.作者當時任教於成功大學應用數學研究所所長
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三、布朗運動的數學模式

首先我們建立 R1 上的布朗運動,我們的作法簡單地說是利用對稱隨機漫步,縮小其每一步長度而在單位時間內加速其移動頻率來模擬布朗運動。

假想一個粒子在座標軸上原點為起始點作對稱隨機漫步,每一步位移為δ而每單位時間內移動次數為 r 次,則此粒子在時間 t 時之位置為 $Z_t=\delta W_n$, 其中 {Wn} 是第二節所談的對稱隨機漫步而且 W0=0。由 {Wn} 之性質知

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
& \mbox{E}[Z_t] = (p-q)\delta n=(\frac{1}{2}...
...\\
& \mbox{Var}(Z_t) = 4pq\delta^2n = \delta^2rt
\end{eqalign}\end{displaymath}

$\delta\rightarrow0$, $r\rightarrow\infty$, 使得 $\delta^2r$ 逼近一定數 D(譬如,取 $\delta = Dr^{-\frac1{2}}$), 由中央極限定理 (Central Limit Theorem),我們得到

\begin{eqnarray*}
P\{Z_t<\beta\}&=&P\{\delta W_n<\beta\}\\
&\sim&\frac{1}{\delt...
...ta\sqrt{2\pi Dt}}\int^{\beta}_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2Dt}}dx\\
\end{eqnarray*}


為求簡化起見,我們設 D=1。令 BtZt 之極限隨機變數, 則 $\{B_t:,t\geq0\}$ 便叫做布朗運動或衛納過程。由以上之討論, 我們嚴格地定義布朗運動如下:

定義一:
$\{B(t):,t\geq0\}$ 為一隨機過程且滿足以下三個條件:

  1. B(0)=0
  2. $0\leq s_1<s_2<\cdots<s_{n+1}<\infty$,則 {B(sj+1)-B(sj): $0\leq j\leq n\}$為獨立隨機變數族。
  3. 對每一 $s\geq0$,$t\geq0$,B(t+s)-B(s) 有常態分配 N(0,t),換句話說

    \begin{displaymath}
P\{B(t+s)-B(s)<\beta\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}
\int^{\beta}_{-\infty}e^{-\frac{x^2}{2t}}dx
\end{displaymath}

其中(1)與(2)皆是繼承 {Zt} 之性質而來,(3)也表示布朗運動對時間有齊一性。合併(2)(3)之性質,我們稱 B(t) 有平穩獨立增量 (stationary independent increments)。 對任意 $a\in\mathbf{R}^1${B(t)+a} 一般叫做以 a 為起點的布朗運動。 {B(t)} 所在的樣本空間可取 Ω $=\{\omega(t):\omega \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \char 209...
...t minus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}\omega(0)=0\}$, 然後定 $B_t(\omega)=\omega(t)$,(BtB(t) 兩個記號通用)。令 I=[a,b],定義

\begin{eqnarray*}
p(s,x;t+s,I)&=&P\{B(t+s)\in I\vert B(s)=x\}\\
&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int^b_a e^{-\frac{1}{2t}(u-x)^2}du
\end{eqnarray*}


p(s,x;t+s,I) 稱為 {B(t)} 之轉移函數。顯然,p(s,x;t+s,I)s 無關,因此我們把 p(s,x;t+s,I) 改寫為 p(t;x,I)=p(s,x;t+s,I)。其次若我們定

\begin{displaymath}
p_t(I)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int^b_a e^{-\frac{u^2}{2t}}du,
\end{displaymath}

則顯然,p(t;x,I)=pi(I-x)。再深入一點討論,考慮一個單位時間內之布朗運動; 其樣本空間 Ω 可取為 $\Omega = C[0,1]$ $= \{x(t):x(t)\mbox{ {\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 202}}[0,1...
...s0.2pt minus0.1pt{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}}x(0)=0\}$。 設 $0=s_0<s_1<s_2<\cdots<s_n<1$,Ii=[ai,bi]$i=1,2,\cdots,n$。 令 $E = \{x\in\Omega:x(s_1)\in I_1,\cdots,x(s_n)\in I_n\}$,然後定義

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{ W(E)=P\{B(s_1)\in I_1,\cdots,B(s_n)\in I_n\} } \\
&...
...cdots
+\frac{(u_n-u_{n-1})^2}{s_n-s_{n-1}}]}\} du_1 \cdots du_n
\end{eqnarray*}


W 稱為衛納測度。衛納利用 W 來研究布朗運動,也因此發展無窮維空間 C[0,1] 上的積分理論(參見[3])。

定義一並未保證軌跡 $g(t) = B_t(\omega)$ 為連續,但可以證明存在一連續布朗運動 $\{\tilde{B}(t)\}$ 使得對任何 t>0$P\{B(t)\neq\tilde{B}(t)\}=0$

以下我們只考慮連續的布朗運動。

定理四:
  1. $P\{B(t+s)\vert B(u);u\leq t\}=P\{B(t+s)\vert B(t)\}$
  2. E $[B(t+s)\vert B(u);u\leq t]=B(t)$
  3. {B(t)} 停留在任一有界集合之機率為零。
  4. 幾乎所有 B(t) 的軌跡皆是處處連續而處處不可微分。

定理四之(1)表示布朗運動為馬可夫過程;(2)說明 {B(t)} 為平賭過程。 以上二者皆可由定義一之(2)證明之。第(3)點與隨機漫步之性質(定理二)相似。 事實上,若 C 為一正數,則 $\lim_{t\rightarrow\infty}P\{\vert B(t)\vert\leq C\}=0$ 以性質包含(3)。第(4)點說明布朗運動與實際現象相符合,其證明則比較難(參見[2])。

例一:
E $[W(t)W(s)]=\min(t,s)$

證明:
假設$t\geq s$,則

\begin{eqnarray*}
& &\mbox{E}[W(t)W(s)]\\
&=&\mbox{E}[(W(t)-W(s))W(s)+W^2(s)]...
...}[W(t)-W(s)]\mbox{E}[W(s)]+\mbox{Var}[W(s)]\\
&=&0+s=\min(t,s)
\end{eqnarray*}


同理,若 $s\geq t$,則E[W(t)W(s)]=t=$\min(t,s)$

例二:
E $[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(u);u\leq s]$=B(s)2-s

證明:
利用 {B(t)} 馬可夫性質,我們有

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
\lefteqn{ \mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(u);...
...=\mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(s)]
\end{eqalign} \eqno{(3.2)}
\end{displaymath}

另一方面

\begin{eqnarray*}
& &\mbox{E}[B(t+s)^2-(t+s)\vert B(s)]\\
&=&\mbox{E}[(B(t+s)...
...\
&=&t+2B(s)\mbox{E}[B(t+s)-B(s)]-B(s)^2-(t+s)\\
&=&B(s)^2-s
\end{eqnarray*}


以上之計算中,我們利用以下兩有條件期望值的等式:

(一)
E[XY|X]=XE[Y|X]
(二)
E[f(X)|X]=F(X)
我們假設 X 取值於 Z 中時來驗證(一)(二):
(一)
E[XY|X=j]=E[jY|X=j]=jE[Y|X=j]。 當j變化時上式變成E[XY|X]=XE[Y|X]
(二)
E[f(X)|X=j]=E[f(j)|X=j]=f(j)E[1|X=j]=f(j), 故E[f(X)|X]=f(X)

例二說明當 {B(t)} 為布朗運動時,{B(t)2-t} 亦為平賭過程, 反之亦然(定理五)。

定理五:
(Levy)隨機過程 $\{B(t)\};t\geq 0$ 為布朗運動之充要條件為
(1)
{B(t)} 為平賭過程。
(2)
{B(t)2-t} 為平賭過程。

Levy 定理提供我們一個檢查給定的隨機過程 B(t) 是否為布朗運動的方法: 對任何時間 $T\geq 0$,若 T 以後 {B(t)2}{B(t)2-t} 之平均值分別為 B(T)B(T)2-T 時,則 {B(t)} 必是布朗運動。

布朗所觀察到的布朗運動當然是三度空間的運動,但由觀察顯示粒子在各方向之移動是獨立的,因此我們採用以下定義:

定義二:
B(t) = (B1(t),B2(t),B3(t))R3 上的隨機過程。 若 {Bi(t)}, i=1,2,3 三過程相互獨立而且分別為 R1 上的布朗運動時,我們稱 {B(t)}R3 上之布朗運動。

   

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編輯:黃怡碧 最後修改日期:6/21/2002