蓋理論(Theory of Majorization)及其在不等式上的應用 (第 2 頁)

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蓋理論(Theory of Majorization)及其在不等式上的應用（第 2 頁）

楊重駿;楊照崑

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．原載於數學傳播第六卷第四期

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凸函數的定義及其性質

為方便計我們以 R 代表所有實數的集合，R⁺ 表所有正實數及 0 的集合。以下所討論的函數，都是實函數，若不特別聲明其定義域 (domain of definition) 則自然指 R。

定義:

設 g(x) 為一定義在區間 (a,b) 上的函數，若過於任何在 (a,b) 中的兩點 x,y，下面不等式：

$\begin{displaymath}g(\lambda x+\mu y)\leq \lambda g(x)+\mu g(y)\quad \mu \geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \mu +\lambda=1\eqno{(1)}\end{displaymath}$

恆成立。如此的 g 稱為在 (a,b) 上的一凸函數。

我們要特別對此種函數的圖形作一觀察，也好使讀者明瞭為何稱滿足不等式(1)式者的函數為凸函數或上凹函數。如圖(1)，我們將證明任何在

圖1

(a,b) 區間之三點 A(x),B(y) 及 C(z)，設 x<z<y，則 g(z) 之值必位於連結 D(x,g(x))，F(y,g(y)) 兩點之直線下方。這個證明很簡單。由 A,B,C 作垂線分別交 $\overline{DF}$ 於 D,F,E，又由 D 作平行於 x 軸之直線交 $\overline{EC}$ ， $\overline{EB}$ 於 G 及 H。若令

$\begin{displaymath}\mu =\frac{z-x}{y-x},\quad \lambda=\frac{y-z}{y-x}\end{displaymath}$

則 $\mu \geq 0$ ， $\lambda \geq 0$ 且 $\mu +\lambda =1$ 。又由此例知

$\begin{displaymath}\frac{\overline{EG}}{\overline{FH}}=\mu\end{displaymath}$

故

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} EC&=&EG+GC=\mu FH+GC\\ &=&\mu (FH+HB)+(1-\mu)DA\\ &=&\mu g(y)+\lambda g(x)\\ \end{array}\end{displaymath}$

由(1)及 $z=\mu y+\lambda x$ 知

$\begin{displaymath}g(z)=g(\mu y+\lambda x)\leq\mu g(y)+\lambda g(x)=EC\end{displaymath}$

故直線 $\overline{DF}$ 上的點高於點 (z,g(z));x<z<y。這個限制，使得 g 的圖形，自然非得向內凹陷，也就是所謂的凸（或上凹）函數名稱的由來。

知道滿足條件(1)的函數為凸函數。但問題是有時我們無法利用它來判定某些函數是否為凸函數。因(1)本身涉及的是任何兩個介於 (a,b) 中的點，我們也不可能逐一地檢驗。好在由於上面凸函數的幾何性質，我們有時可以利用求一個函數的第二階導函數，來判定一個函數是否為凸函數? 假定 g(x) 在 (a,b) 上有定義且其第二階導函數 g''(x) 在 (a,b) 上到處存在（注意：不見得每個函數的第二階導函數存在，但在一般所見到的函數，只要不是精工巧構的，總有第二階或更高階的導函數），若 $g''(x)\geq 0$ , $\forall x\in (a,b)$ ，則 g(x) 為 (a,b) 上的一凸函數，例如 $g(x)=\log x(0<x<\infty)$ 則

$\begin{displaymath}g'(x)=-\frac{1}{x},\quad g''(x)=\frac{1}{x^2}>0,\quad\forall x\in(0,\infty).\end{displaymath}$

讀者不妨試描繪 g(x) 的圖形大要。

對於無微分觀念的讀者，我們提供下面一個凸函數的試驗法：設 g(x) 為定義在區間 (a,b) 上的一函數，且滿足 $\vert g(x)\vert\leq M<\infty$ , $\forall x\in (a,b)$ ，（即 g 為有界的）若 g 在 (a,b) 上滿足： $\forall x,y\in(a,b)$ ，

$\begin{displaymath}g(\frac{x+y}{2})\leq \frac{1}{2}g(x)+\frac{1}{2}g(y)\end{displaymath}$

則 g 為 (a,b) 上的一凸函數。

這個證明涉及極限，連續等概念，讀者姑且信之，以後我們會用此條件，來檢驗某些函數是否為凸函數。

由於我們以後的討論，不僅限於一個變數，一般會在 n ( $n\geq 2$ ) 度的實向量空間 Rⁿ 或 $R^{\textstyle n^+}$ 中。下面首先證明(1)式可以推廣到 n>2 的一般情形。

定理1:

設 g 為 (a,b) 上的一凸函數，則 $\forall x_i \in(a,b)$ , (i=1,2,…,n); $\lambda_i\geq 0$ , (i=1,2,…,n), $\sum^n_{i=1}\lambda_i = 1$ ,

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} &&g(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots\cdots... ...ng(x_n)\\ &=&\sum^n_{i=1}\lambda_ig(x_i) \end{array}\eqno{(2)}\end{displaymath}$

證:

用數學歸納法。很顯然(2)式對 n=1,2 時皆成立。假設(2)式對 n=k-1 時成立，我們將證對 n=k 時(2)式亦成立。令 $\lambda_1x_1+\lambda_2x_2=\lambda y$ , $\lambda=\lambda_1+\lambda_2$ 則由歸納法假設得知

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} &&g(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots\cdots... ... &\leq&\lambda g(y)+\sum^n_{i=1}\lambda_ig(x_i)\\ \end{array}\end{displaymath}$

因為 $\lambda +\lambda_3 +\lambda_4+\cdots +\lambda_k=1$ 共 k-1 項，又

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \lambda g(y)&=&\lambda g(\frac{\lambda_1}{... ...mbda}g(x_2)\}\\ &=&\lambda_1g(x_1)+\lambda_2g(x_2) \end{array}\end{displaymath}$

此式及上式得知(2)式對 n=k 亦成立。故由歸納法原理知(2)式恆成立。

我們現在舉些有關凸函數的應用。

定理2：(Arithematic-Geometric Mean Inequality)

設 $a_i\in R^+$ ，i=1,2,…,n，則

$\begin{displaymath}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots\cdots a_n}\end{displaymath}$

註：

這就是所謂的算術平均大於幾何平均。

證：

很明顯若 a_i 中有一為 0 則不等式自然成立，故可設 a_i>0 令 $y=g(x)=-\log x$ , x>0 則依據圖形或考慮 $g''(x)=\frac{1}{x^2}$ 得知 g 在 $(0,\infty)$ 上為一凸函數。於是

$\begin{displaymath}g(\frac{a_1}{n}+\frac{a_2}{n}+\cdots +\frac{a_n}{n})<\sum\frac{1}{n}g(a_i)\eqno(3)\end{displaymath}$

而

$\begin{displaymath}g(\frac{a_1}{n}+\frac{a_2}{n}+\cdots +\frac{a_n}{n})=-\log(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n})\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\sum_{i=1}^n\frac{g(a_i)}{n}=\frac{-1}{n}\sum_{i=1}^n\log a_1\end{displaymath}$

於是

$\begin{displaymath} \log (\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}) > \log \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} \end{displaymath}$

現 $\log$ 為正實數的遞增函數，所以由上式得

$\begin{displaymath} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} \end{displaymath}$

定理3 (Cauchy 不等式)

設 a_i (i=1,2,…,n) 及 b_i (i=1,2,…,n) 為兩組正實數，則

$\begin{displaymath}(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2\leq (\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2)\end{displaymath}$

證:

設 y=g(x)=x²，則易知 g 為一凸函數。令 $x_i=\frac{a_i}{b_i}$ 及 t_i=b_i²， $t=\sum_{i=1}^nt_i$ ， $\lambda_i=\frac{t_i}{t}$ ，i=1,2,…,n 則由定理1可得

$\begin{displaymath}(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i)^2\leq\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i^2\end{displaymath}$

即

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} (\sum_{i=1}^nt_ix_i)^2&\leq&t^2\sum_{i=1}^... ...i^2)\\ &=&(\sum_{i=1}^n b_i^2)(\sum_{i=1}^n a_i^2) \end{array}\end{displaymath}$

原式得證。

註:

原命題對所有的實數皆成立，在此為簡明計，假設所有的b_i不為零，不然可把為0的b_i代以 $\varepsilon_i$ (充分小的參數)將結果取極限，仍可得原式。

現在我們討論具有下列形式的不等式:

$\begin{displaymath}\phi (\overbrace{\overline{x},\overline{x},\cdots,\overline{x... ...}\selectfont \char 95}}})\leq\phi(x_1,x_2,\cdots,x_n)\eqno{(4)}\end{displaymath}$

其中 $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ , x₁,x₂,…,x_n 為實數。如果我們令

$\begin{displaymath}\phi(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum_{i=1}^n g(y_i)\end{displaymath}$

則前面的(3)式就可表成(4)的形式。由於(4)的特殊形式，使得我們不妨考慮下面更廣泛的形式：

$\begin{displaymath}\phi(y_1,y_2,\cdots,y_n)\leq\phi(x_1,x_2,\cdots,x_n)\eqno(5)\end{displaymath}$

此時 y₁,y₂,…,y_n 不一定要相等，但它們在某些意義上（這是我們將要進一步討論的地方）比 x₁,x₂,…,x_n 要來得緊湊些，即沒有 x₁,x₂,…,x_n 來得分散。我們主要問的就是 {x_i}_i=1ⁿ 及 {y_i}_i=1ⁿ 在何種條件下，對何種函數 $\phi$ ，(5)式總成立？

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編輯：鄧惠文

最後修改日期：5/26/2002