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與平均有關的不等式 (第 4 頁)

鈴木義一郎
翻譯:邱日威(師大數學系)

 



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.原載於數學傳播第四卷第三期
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變異數與共變差有關的不等式

最後我們來討論有關含有兩變數動差的不等式。設為 (X,Y) 為連續型機率變數而其機率密度函數為 h(x,y),則

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\int h(x,y)dy \\
g(y)&=&\int h(x,y)dx
\end{eqnarray*}


就分別成 X,Y 的機率密度函數。又

\begin{eqnarray*}
\mu_x&=& \int xf(x)dx \\
\mu_y&=& \int yf(y)dy \\
\sigma_x^2...
...dy \\
\gamma_{xy}&=& \int \!\! \int(x-\mu_x)(y-\mu_y)h(x,y)dxdy
\end{eqnarray*}


分別稱做 X,Y 的平均,變異數,X,Y 的共變差。 對於這些我們亦可證出下列不等式

\begin{displaymath}
\gamma_{xy}^2 \leq \sigma_x^2\sigma_y^2 \eqno{(4)}
\end{displaymath}

更一般化的不等式是,對於任意的機率變數 X,Y 間所成的 Hölder 不等式

\begin{displaymath}
E\vert XY\vert \leq (E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}(E\vert Y\vert^s)^{\frac{1}{s}}
\eqno{(5)}
\end{displaymath}

r,s 滿足

\begin{displaymath}
r>1,\quad \frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1
\eqno{(6)}
\end{displaymath}

若在不等式(5)中的 X,Y$X-\mu_x$, $Y-\mu_y$ 代替,而 r=s=2,則(5)就成為不等式(4)。 為了證明不等式(5),首先我們來證明

\begin{displaymath}
\vert ab\vert \leq \frac{\vert a\vert^r}{r}+\frac{\vert b\vert^s}{s}
\eqno{(7)}
\end{displaymath}

(但 r,s 滿足(6)式) 設函數

\begin{displaymath}
\phi(\lambda)=\frac{1}{r}\lambda^r +\frac{1}{s}-\lambda
\end{displaymath}

則由其微分可知,$\phi(\lambda)$$\lambda=1$ 時取最小值 0。因此可導出不等式

\begin{displaymath}
\lambda \leq \frac{1}{r}\lambda^r+\frac{1}{s}
\end{displaymath}

再令 $\lambda=\vert a\vert\vert b\vert^{-\frac{s}{r}}$,則

\begin{displaymath}
\vert a\vert\vert b\vert^{-\frac{s}{r}} \leq \frac{1}{r}\vert a\vert^r\vert b\vert^{-s}+\frac{1}{s}
\end{displaymath}

兩邊再乘以 |b|s,則由 $-\frac{s}{r}+s=s(1-\frac{1}{r})=1$,可得不等式(7)的結果。

然後在不等式(7)中,令

\begin{displaymath}
a=\frac{X}{(E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}}, \quad b=\frac{Y}{(E\vert Y\vert^s)^{\frac{1}{s}}}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\frac{XY}{(E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}(E\vert Y\vert^s)^{...
...^r}{rE\vert X\vert^r} +\frac{\vert Y\vert^s}{sE\vert Y\vert^s}
\end{displaymath}

兩邊再取其期望值,則可得

\begin{displaymath}
\frac{E\vert XY\vert}{(E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}(E\vert Y\vert^s)^{\frac{1}{s}}}
\leq \frac{1}{r}+\frac{1}{s}=1
\end{displaymath}

於是我們得到了不等式(5)的證明。

用同樣方法又可以證明 Minkowski 不等式

\begin{displaymath}
(E\vert X+Y\vert^r)^{\frac{1}{r}}
\leq (E\vert X\vert^r)^{\frac{1}{r}}+(E\vert Y\vert^r)^{\frac{1}{r}} \qquad r \geq 1
\end{displaymath}

當我們討論二變數的機率變數 (X,Y) 時,將其共變差標準化所得的值

\begin{displaymath}
\tau_{xy}=\frac{\gamma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}
\end{displaymath}

具有很重要的地位。我們稱這值為 XY 的相關係數,由不等式(4)可知,不等式

\begin{displaymath}
-1 \leq \tau_{xy} \leq 1
\end{displaymath}

成立。當 $\tau_{xy}=1$(或 -1)時,(X,Y) 的分佈集積在具有正(或負)的斜率的直線上,因此 $\tau_{xy}$(或 $\vert\tau_{xy}\vert$)被認為是衡量二維分佈的直線傾向的值。 又 $\tau_{xy}=0$ 時,$\gamma_{xy}=0$,這時 X,Y 可能是互相獨立。 換句話說,若 X,Y 互為獨立時,$\gamma_{xy}=0$,但其逆就不一定成立。

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002