與平均有關的不等式 (第 3 頁)

　1│2│3│4　

與平均有關的不等式（第 3 頁）

鈴木義一郎
翻譯：邱日威（師大數學系）

首頁 | 搜尋

．原載於數學傳播第四卷第三期
‧對外搜尋關鍵字

一般化平均的單調性

上述的討論，我們再從一般的觀點來加以研究。對於 n 個正數 x₁, x₂, …, x_n，設

$\begin{displaymath} \begin{eqalign} \mu(d) &= \left\{ \frac{x_1^\alpha+x_2^{\al... ...&= \lim_{\alpha \rightarrow 0} \log{\mu} (\alpha) \end{eqalign}\end{displaymath}$

我們稱這值為 x₁, x₂, …, x_n 的一般化平均，如果 μ 看做 α 的函數時，而能證明其為 α 的單調增加函數，則由於 $\mu(-1), \mu(0), \mu(1)$ 分別為這 n 個數的調和平均、幾何平均、算術平均，以及如果再加以某種變換，就可以導出 $\mu(\alpha)^{\alpha}$ 為 α 次的絕對動差，因此可以總括的證明各種平均間的不等式(1),(2)出來。

證：首先導入下列的輔助函數

$\begin{eqnarray*} M(\alpha)&=& \alpha^2\frac{\mu'(\alpha)}{\mu'(\alpha)} = \alp... ...log{x_i}}{\sum x_i^{\alpha}}- \log{\frac{\sum x_i^{\alpha}}{n}} \end{eqnarray*}$

結果，很明顯的可以看出， $M(\alpha)$ 與 $\mu'(\alpha)$ 為同號，因此對於所有 $\alpha \neq 0$ ，只要我們能夠證明 $M(\alpha)>0$ ，就可以證出 μ 為單調增加的函數。利用簡單微分計算可得

$\begin{displaymath} M'(\alpha)=\frac{\alpha}{(\sum x_i^{\alpha})^2} \Big\{ (\su... ...{\alpha} \log^2{x_i}) - (\sum x_i^{\alpha}\log{x_i})^2 \Big\} \end{displaymath}$

因為 y 的二次式

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \sum x_i^{\alpha}(y+\log{x_i})^2 } \\ &=& (\sum x_... ... 2(\sum x_i^{\alpha}\log{x_i})y + \sum x_i^{\alpha} \log^2{x_i} \end{eqnarray*}$

對於任何 y 值不為負數，所以其判別式必滿足

$\begin{displaymath} (\sum x_i^{\alpha}) \, (\sum x_i^{\alpha} \log{x_i}) - (\sum x_i^{\alpha} \log^2{x_i})^2 \geq 0 \end{displaymath}$

由此我們可以證明 $M'(\alpha)$ 與 α 同號，因而得知函數 $M(\alpha)$ 在 $\alpha=0$ 時取其最小值 M(0)=0，因此 $\alpha \neq 0$ 時， $M(\alpha)>0$ 。

這結果顯示了 $\mu(\alpha)$ 為 α 的單調增加函數。

若 x₁,x₂,…,x_n 的最大值為 x_(n)，則

$\begin{displaymath} \sum_{i=1}^{n} (\frac{x_i}{x_{(n)}})^{\alpha} \longrightarrow 1 (\alpha \rightarrow \infty) \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath} \mu(\infty)=\lim_{\alpha \rightarrow \infty}\mu(\alpha) = \... ...x_{(n)}})^{\alpha} \big\}^{\textstyle \frac{1}{\alpha}} = x_n \end{displaymath}$

同理亦可得

$\begin{displaymath} \mu(-\infty)= \lim_{\alpha \rightarrow -\infty} \mu(\alpha)=x_{(1)} = \min (x_1,x_2,\cdots,x_n) \end{displaymath}$

如果再把 $\mu(\alpha)$ 加以一般化，我們可以導出一般化加重平均值

$\begin{displaymath} \mu_{\rho}(\alpha) = \Big\{ \frac{\rho_1x_1^{\alpha}+\rho_2... ...rho_2 + \cdots + \rho_n} \Big\}^{\textstyle \frac{1}{\alpha}} \end{displaymath}$

如果，再加以考慮一般分佈函數 F 的 Stieltjes 積分

$\begin{displaymath} \mu_F(\alpha)= \Big\{ \int_0^{\infty}x^{\alpha}dF(x) \Big\}^{\textstyle \frac{1}{\alpha}} \end{displaymath}$

則，當 F 為階梯函數時， $\mu_F(\alpha)$ 就可成為 $\mu(\alpha)$ 或 $\mu_{\rho}(\alpha)$ 。所以這種表示法比較具有一般性。 $\mu_F(\alpha)$ 對於 α 的單調性也差不多可以用上述的同樣方法得證出來。

　1│2│3│4　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：朱安強

最後修改日期：4/26/2002