黃武雄

啟蒙期的中國數學（漢以前） 發展期的中國數學 (魏晉到隋唐) 黃金時期(十二、三世紀的宋元數學)

我們將引介中國數學史的概貌，把中國數學史史分成啟蒙期、發展期與成熟期 三個時期，逐條列出每一時期各級方法所發展的內容，說明各級方法在各個時 期孕育與成長的情形。自然我們會遇到若干歸屬不清，不易正確列入某一級方 法的內容。由於我們指出的各級方法多少有著一級級發展上來的程序，並不是 互不相干，各自成長的，便不免要有某些題材為不同的兩級或兩級以上的方法 所共用；這種情形尤其容易出現於孕育時期的題材。例如招差法（有限級數求和）。 既起源於堆垛問題，要列出每層個數，自然與幾何形體有關，可列入「轉化方法」的初等基礎。 但它的內容主要是級數求和的計算，顯然又屬「代數方法」的算術基礎。 而朱世傑、郭守敬將招差法換個面貌，就是三次函數內插的逼近問題，演得牛頓的三階差公式，採討日月五星的位置，當然又可將它當作「局部化方法」的一個準備題材。

啟蒙期的中國數學（漢以前）

一般認定，《周髀算經》是中國現存最早的一部數學典籍，成書時間大約在兩漢之間 (紀元之後)。也有史家認為它的出現更早，是孕於周而成於西漢，甚至更有人說它出現在紀元前1000年。嚴格說來，《周髀算經》是一部天文著作，為討論天文曆法，而敘述一些有關的數學知識，其中重要的題材有勾股定理、比例測量與計算天體方位所不能避免的分數四則運算。例如《周髀算經》認為一年有 日而平均有 個月，亦即每 19 年應有 7 個閏月，這樣每個月的日數應該是

通過算籌，中國人很早就掌握了複雜的計算。比起同時期的西方數學（例如以歐幾里得的《幾何原本》所記載的分數性質來看），古代中國數學的定量工作，無疑是遙遙領前的。

稍後出現的《九章算術》（東漢中期，不遲於公元100年）才真正是第一部把古代中國數學已有的知識加以總結的書籍。

《九章算術》的內容實已相當完備，收錄有 246 個題目，分「方田」、「粟米」、「衰分」、「少廣」、「商功」、「均輸」、「盈不足」、「方程」、「勾股」等九章編成。為代數方法與轉化方法提供了初步的基礎。

(i)在代數方法上面，可列為其算術基礎的有

正負數的四則運算(「方程」)

通分、分數四則(「方田」)

比例(「粟米」、「衰分」、「均輸」)

一次不定方程(「盈不足」)

開平方、開立方 (「少廣」)

可當作「未知數原理」的雛形的有

聯立一次方程，即高斯消元法

(「方程」中所謂的方程術 )

一元二次方程的數值解法

(「勾股」中的帶從開方法，將有一次項的二次方程化為「少廣」中的開平方法解之)

(ii)在轉化方法上面
關聯 「形」與 「量」的有

面積計算(「方團」，限於直線與圓成的圖形，如三角形、梯形．圓形、弓形、環形等)

體積計算(「商功」，各種由平面圍成的圖形，及圓柱、圓臺及球體積的粗略估計)

勾股定理及相似直角三角形的運用(「勾股」)