­º­¶ | ·j´M

¡D­ì¸ü©ó¼Æ¾Ç¶Ç¼½²Ä¤@¨÷²Ä¤@´Á
¡D·PÁ¤E³¹¥Xª©ªÀ¦P·NÂà¸ü

¡EµùÄÀ
 

µL­­¶°¦Xªº¤@¨Ç¯S®í©Ê½è

N.Ya. Vilenkin
¬_´f¬ü

 
 

©Ò¦³¼Æ¾Ç¾É·½©óµL­­ªºÆ[©À¡A³o»¡ªk¨Ã¤£¸Ø¤j¡C¤@¯ë±¡§Î¡A¦b¼Æ¾Ç¤W§Ú­Ì¹ï­Ó§Oªº­ÓÅé¡]¼Æ¡A´X¦ó¹Ï¡^¨S¦³¿³½ì¡A¦ý¹ï³o¨Ç­ÓÅé©Ò²Õ¦¨ªº¶°Åé­Ë¦³¿³½ì¡G¨Ò¦p©Ò¦³ªº¦ÛµM¼Æ¡A©Ò¦³ªº¤T¨¤§Îµ¥µ¥¡C¦ý³o¼Ëªº²Õ¦X¬O¥ÑµL½a¦h­Ó­ÓÅé©Ò²Õ¦¨ªº¡C ĶªÌµù

¬°¤F³o­Ó²z¥Ñ¡A¼Æ¾Ç®a»P­õ¾Ç®a±`¹ïµL­­ªºÆ[©À·P¨ì¿³¨ý¯sµM¡C·í¤H­Ìª¾¹D¥ô¦ó¦ÛµM¼Æ³£¦³¥¦ªº«áÄ~ªÌ®É¡]¤]´N¬O»¡¥Ñ¦ÛµM¼Æ©Ò±Æ¦¨ªº¼Æ¦C¬OµL­­ªº¡^¡A´N¹ïµL­­ªºÆ[©À¿E°_¤F¿³½ì¡CµM¦Ó¬°¤F¤F¸ÑµL­­¡A§Y¨Ï¬O³Ìªìªº³]·Q³£¾É­P«Ü¦hªº¥Ù¬Þ¡C

Á|­Ó¨Ò»¡¡A§Æþ­õ¾Ç®a»ô¿Õ (Zeno) ¥ÎµL­­ªºÆ[©ÀÃÒ©ú¹B°Ê¬O¤£¥i¯àªº¡I¥L»¡¤@°¦½b­n®g¨ì¤@­Ó¥Ø¼Ð¡A¥¦¥²»Ý¥ý­¸¹L«e¤@¥bªº¶ZÂ÷¡A¦ý­n­¸§¹«e¤@¥b¤S»Ý¥ý­¸¹L«e¥|¤À¤§¤@ªº¶ZÂ÷¡A«e¤K¤À¤§¤@µ¥µ¥¡C¦ý³oºØ¤@¥b¤S¤@¥bªº¹Lµ{¬O¥ÃµL¤î¹Òªº¡]¦b³o¨àµL­­Æ[©À²£¥Í¤F¡^¡A©ó¬O¥L»¡³o°¦½b´N¥Ã»·µLªkÂ÷¤}¤F¡C¥LÃÒ©úªº¤è¦¡»PÃÒ©ú¡uµ½¶]ªºªü¬ö§Q (Achilles) ¥Ã»·µLªk°l¹LºC¨Bªº¯QÀt¡v§¹¥þ¤@¼Ë¡C

¥Ñ©ó³o¨Ç¥Ù¬Þ»P¸ÞÅG¡A¥j§Æþ¼Æ¾Ç®a©Úµ´°µ¥ô¦ó»PµL­­¦³Ãöªº¬ã¨s¡A¨Ã§â¥¦´¬±ó©ó¼Æ¾Ç½×­z¤§¥~¡C¥L­Ì°²³]©Ò¦³ªº´X¦ó¹Ï§Î¥Ñ¦³­­­Ó·¥¤p¡A¬Ý¤£¨£ªº¤p³¡¤À¡]­ì¤l¡^©Ò²Õ¦¨¡C¦b³o°²©w¤§¤U¡A­n§â¤@­Ó¶ê¤À¦¨¬Ûµ¥ªº¨â¥b¬O¤£¥i¯àªº¡A¦]¬°¶ê¤ß¥²»ÝÄÝ©ó¨ä¤¤¤@¥b¡A¦ý³o´N»P¨â¥b¬Ûµ¥ªº±ø¥ó¬Û¹H­I¡C

¦b¤¤¥@¬öµL­­³o°ÝÃD©Ò¥H¤Þ°_¿³½ì¡A¥D­n¬O»Pª§½×¡u¯à§¤¤W¦P¤@°w¦yªº¤Ñ¨Ï¬O¦³­­­Ó©ÎµL­­­Ó¡v¦³Ãö¡C¤ñ¸û¼sªxªº¨Ï¥ÎµL­­Æ[©À¡AÁÙ¬O¶}©l©ó¤Q¤C¥@¬ö¡u¼Æ¾Ç¸ÑªR¡v³Ð©l®É¡C½Ñ¦pµL½a¤j¶q»PµL½a¤p¶q¦b¼Æ¾Ç¥Ó½×ªº¨C¤@¨BÆJ³£³Q¥Î¤W¡CµM¦ÓµL­­¶°¦X¡]§Y§t¦³µL½a¦h­Ó¤¸¯Àªº¶°¦X¡^¦b·í®É¨Ã¥¼¬ã¨s¡C©Ò¬ã¨sªº³£¬O¨Ç¥iÅܶq¡A¥¦¥iÅܱo¤j©ó¥ô¦ó©Òµ¹ªº¼Æ¡C³o¨Ç¶q³QºÙ¬°¡u¶É¦V©óµL½aªº¤j¡v¡A·N«ä¬O»¡¥¦¥iÀH·N¤j¡C

¤@ª½¨ì¤Q¤C¥@¬ö¤¤¸­¡AµL­­¶°¦Xªº¬ã¨s¤~¶}©l¥X²{¦b¸ÑªR¤W¡CµL­­¶°¦X¼Æ¾Ç²z½×ªº³Ð©lªÌ¬O¤@¦ì³Õ¾Çªº±¶§J¼Æ¾Ç®aªi¬d¿Õ (Bolzano) ©M¼w°ê¼Æ¾Ç®a³ô¦« (Cantor)¡]¤£©¯ªº¬Oªi¬d¿Õ¥D­nªº¤u§@¦b¥L¦º«á¼Æ¦~¤~µoªí¡^¡C©_©Çªº¬O¨â¦ì³Ð©lªÌ³£ºë³q¤¤¥@¬öªº¸g°|­õ¾Ç¡C¨â¦ì²×¯à§ï¶i¸g°|­õ¾Ç¡A¶i¦Ó«P¨Ï¶°¦X½×¦¨¬°¼Æ¾Ç­«­nªº¤@ªù¡C

ªi¬d¿Õ»P³ô¦«ªº­«­n¦¨´N¦b©ó±´°QµL­­¶°¦Xªº©Ê½è¡F¦³­­¶°¦Xªº©Ê½è¦­¬°¥L­Ìªº«e½ú©Ò¼ôª¾¡Cªi¡B³ô¨â¦ìµo²{¦³­­¶°¦X»PµL­­¶°¦Xªº©Ê½è§¹¥þ¤£¦P¡G³\¦h¹Bºâ¦b¦³­­¶°¦X¤W¬O¤£¥i¯à¡A¦ý¦bµL­­¶°¦X«o©ö¦p¤Ï´x¡CÁ|¨Ò»¡§a¡A°²©w¨C­Ó©Ð¶¡¤£¯à¦h©ó¤@­Ó©Ð«È¡A·Q­n¦A¤@­Ó¤w«Èº¡ªº®ÈÀ]¦A¦w¹y¤@­Ó©Ð«È¡A¿ì±o¨ì¶Ü¡H·íµM¿ì¤£¨ì¡A¦]¬°®ÈÀ]ªº©Ð¶¡¼Æ¶q¦³­­¡I¦ý­Y©Ð¶¡ªº¼Æ¶qµL­­¬O§_´N¿ì±o¨ì¡H³oºØ®ÈÀ]¥X²{¦b¤@¥»®Ñ¤W¡A®Ñ¦W¥s°µ¡m¬P»Ú°e¥¤ªÌ¡A¨HÀqªÌ¥ì¯Î¡n¡C³o¬OªiÄõ¤Û·Q®a¥v©Z¥§´µÃ¹¡DÄõ©ÒµÛ¡C®Ñ¤¤´y¼g¬P»Ú®È¦æ®a¨HÀqªÌ¥ì¯Îªº­^¶¯¨Æ¸ñ¡C²{¦bÅý§Ú­Ìťť§@ªÌ»¡¨Ç¤°»ò§a¡C

 
¹ï¥~·j´MÃöÁä¦r¡G
¡DZeno
¡DAchilles
¡DµL½a¤j
¡DµL½a¤p
¡DBolzano
¡DCantor
 
¯S®íªº®ÈÀ]¡A¡]©Î¨HÀqªÌ¥ì¯Îªº¤@¤d¹s¤@¦¸®È¦æ¡^

§Ú¦^®a«Ü¿ð¡A¬O¦w¼wù¦Ì¹F¬P¶³­Ñ¼Ö³¡ªº»E·|©ì¨ì²`§ó¥b©]¤§¬G¡C³o¤@¾ã©]§Ú³Q´c¹Ú©Ò§xÂZ¡C§Ú¹Ú¨£§]¤U¤@°¦Ãe¤jªº©Çª«¡AµM«á¤S¹Ú¨£¦A«×¨ì¦æ¬P«×º¸²Ä¦«¤Ò¡A¦b¨º¨Ç¥i©Èªº¾÷¾¹·í¤¤¡A§Ú¤£ª¾¹D¦p¦ó¸ú¶}¨º­Ó·|±N¤HÅܦ¨¤»¨¤§Îªº¾÷¾¹¡FµM«á¡K¡K¡C¬ðµM¤@­Ó¹q¸Ü¨Ï§ÚÅå¦^²{¹ê¡A¨º¬O§Úªº¦ÑªB¤Í­Ý¬P»Ú®È¦æ¥ë¦ñ¤jÄõ²æ±Ð±Â¥´¨Óªº¡C

¥L»¡¡G¡u¿Ë·Rªº¥ì¯Î¡A¦³¤@­Óºò«æªº°ÝÃDµo¥Í¤F¡A¤Ñ¤å¾Ç®aµo²{¦t©z¤¤¥X²{¤@­Ó©_©Çªºª«Åé¢w¢w¤@±ø¯«¯µªº¶Â½u¥Ñ¤@­Ó»Èªe¨t©µ¦ù¨ì¥t¤@»Èªe¨t¡C¨S¦³¤Hª¾¹D¨ì©³¬O«ç»ò¦^¨Æ¡A§Y¨Ï¦b¤õ½b¤W¸Ë¤W³Ì¦nªº±æ»·Ãè©MµL½u¹q±æ»·Ãè¤]µLªk±´ª¾³o­ÓÁ¼¡C§A¬O§Ú­Ì³Ì«áªº§Æ±æ¤F¡C§Ö´ÂµÛ¬P¶³ ACD-1587 ªº¤è¦V°_­¸§a¡v¡C

¦¸¤é§Ú±q­×²z¼t¨ú¦^§ÚªºÂÂ¥ú¤l¤õ½b¡A¦P®É¸Ë¤W®É¶¡¥[³t¾¹©M¹q¤l¾÷¾¹¤H¡C³o¾÷¾¹¤HÀ´±o¦t©z¤¤©Ò¦³»y¨¥©M©Ò¦³¦³Ãö¬P»Ú®È¦æªº¬G¨Æ¡]¦b®È³~¤¤«OÃÒ¯à¨Ï§Ú®ø»º¦Ü¤Ö¤­¦~¤§¤[¡^¡C©ó¬O§Ú´N°_­¸°õ¦æ§Úªº¥ô°È¤F¡C

¥¿·í¾÷¾¹¤HÁ¿§¹¥¦©Ò¦³ªº¬G¨Æ¦Ó¶}©l­«½Æ±Ô­zªº®É­Ô¡]¦A¨S¦³¤ñÅ¥¤@­Ó¹q¤l¾÷¾¹¤H­«½Æ¦Ñ¬G¨Æ¤Q¦¸§óÃø¨üªº¨Æ¤F¡^¡A§Ú®Èµ{ªº¥Ø¼Ð´NÅã²{¦b¤£»·ªº¦a¤è¤F¡C¨º¨Çªþ¦³¯«¯µ½w½wªº»Èªe¨t¤w¸¨¦b§Ú¨­«á¡A§e²{¦b²´«eªº¬O¡K¡K¦t©z¤j¶º©±¡C«e¨Ç®É§Ú³y¤F¤@­Ó¤p¦æ¬P¡A¨Ñ¨º¨Ç¬P»Ú¶¡º©¹Cªº¬y¤`ªÌ¦í±J¡C¦ý¥L­Ì§â¥¦µ¹©î±¼¤F¡A¦A«×¬yÂ÷¥¢©Ò¡C«á¨Ó¥L­Ì¨M©w¤£¦A¾C¹C­¯¥Íªº»Èªe¨t¡A©ó¬O»\°_¤F¤@´É»¨µØ§»°¶ªº«Ø¿vª«¢w¢wµ¹¦t©z¤¤©Ò¦³®È¹CªÌªº®ÈÀ]¡A¥s°µ¦t©z¤j¶º©±¡C³o¶º©±¾î¸ó´X¥G©Ò¦³ªº»Èªe¨t¡C§Ú»¡¡u´X¥G©Ò¦³¡v¬O¦]¬°¬y¤`ªÌ¤w¸g§â¤Ö¼Æ¯î¿¾ªº»Èªe¨t¸ÑÅ馨¹s¹s¸¨¸¨ªº¬P¸s¡C

¤j¶º©±¸Ë¿X±o«Ü¯«©_¡C¨C¶¡©Ð¸Ë¦³§N¼ö¹q¼ß¤ôÀsÀY¡C©]ùإ𮧮ɡA°²¦p§AÄ@·Nªº¸ÜÁÙ¥i¥H§â¦Û¤v¤À¸Ñ¦¨¹q¤l¡A¦­¤W«h¦³¨ÍªÌ¨Ó§â§Aªº­ì¤l²Õ¦X¦¨­ì¨Óªº§A¡C

¦ý¶º©±³Ì­«­nªº¯S¦â¬O¦³µL½a¦h­Ó©Ð¶¡¡C¬y¤`ªÌ§Æ±æ±q¦¹¥H«á¤£·|¦AÅ¥¨ì¨º¥O¤H·Ð´oªº¤@¥y¸Ü¡u¨S¦³ªÅ©Ð¶¡¡v¡A³o¸Ü±q¤@¶}©lº©¹C´N§xÂZµÛ¥L­Ì¡C

§Y¨Ï³o¶º©±¦³³o¯S¦â¡A§Úªº¹B®ðÁÙ¬O¤£¨Î¡C¤@¨«¶i¶º©±«eÆU¡A´N¬Ý¨ì«ü¥ÜµP¤W¼gµÛ¡G¦t©z°Êª«¾Ç·|ªº¥Nªí¦b¤@¦Ê¤G¤Q¤C¼h¼Óµn°O¡C

¥Ñ©ó¦t©z°Êª«¾ÇªÌ¨Ó¦Û©Ò¦³»Èªe¨t¡A¦Ó»Èªe¨t¤S¦³µL½a¦h­Ó¡A©ó¬O©Ò¦³ªº©Ð¶¡³£³Q¾Ç·|¥X®uªÌ©Ò¥eº¡¡A¦]¦¹¨S¦³ªÅ©Ðµ¹§Ú¡CºÞ²z­û¸ÕµÛ»¡ªA¬Y¨Ç¥NªíÅý§Ú»P¥L­Ì¦í¦b¤@°_¡C¦ý·í§Úµo²{Ä@·Nªº¤H¤¤¡A¤@­Ó©I§lªº¬O¬t®ð¡A¥t¤@­Ó«h³ßÅw§â«Ç·Å½Õ¨ì 860¢K ªºÀô¹Ò®É¡A§Ú¥u¦n°ûÁÂ¥L­Ìªº¶®·N¡C

©¯¦n¸³¨Æªø¤]¬O­Ó¬y¤`ªÌ¡A¥LÁÙ°O±o§Úµ¹¥L©M¥Lªº¦P­Mªº®¦´f¡C¥L­n·Q¿ìªk¦w´¡§Ú¤@­Ó¦ì¸m¡A¦]¬°¦b¬P»Ú¤ÓªÅ¤¤¹L©]¬O·|±oªÍª¢ªº¡C¨H«ä¤ù¨è¤§«á¡A¥LÂà¦VºÞ²z­û¡G

¡u§â¥L¦w¸m¦b¤@¸¹©Ð¡v¡C

¡u¤@¸¹©Ðªº©Ð«È¤S¦w¸m¨ì¨ºùØ©O¡H¡v

¡u§â¥L¾E¨ì¤G¸¹©Ð¡C¤G¸¹©Ðªº©Ð«È¾E¨ì¤T¸¹©Ð¡A¤T¸¹©Ðªº¨ì¥|¸¹©Ð¡A¨Ì¦¹Ãþ±À¡C¡v

´N¦b¦¹®É§Ú¤~¶}©l»â·|³o®ÈÀ]ªº¤£´M±`¯S©Ê¡C°²³]³o®ÈÀ]¶È¦³¦³­­­Ó©Ð¶¡¡A«h³Ì«á©Ð¶¡ªº©Ð«È°È¥²³Q­¢·h¥X¦Ó¦í¨ì¬P»Ú¤ÓªÅ¥h¡C¦ý´N¦]¬°®ÈÀ]¦³µL­­¦h­Ó©Ð¶¡¡A©Ò¥H§Ú¯à·h¶i¥h¦Ó¤£­é¹Ü¥ô¦ó¦t©z°Êª«¾Ç®a¦í®ÈÀ]ªº¾÷·|¡C

²Ä¤G¤Ñ¦­±á·í§Úµo²{§Ú¥²»Ý¾E¨ì²Ä¤@¦Ê¸U¸¹©Ð®É¡A§Ú¤]¤£·P¨ìÅå³Y¤F¡C«ÜÅãµMªº¡A¨º¬O¦]¬°¤S¦³ 999,999 ¦ì«È¤H­n¦í¶i®ÈÀ]¡C³o¨Ç¿ð¨ìªÌ¬O±q»Èªe¨t VSK-3472 ¨Óªº¦t©z°Êª«¾ÇªÌ¡C²Ä¤T¤Ñ·í§Ú¥I®ÈÀ]¶O®É¡A«ÜÅå³Y¦aµo²{¨ºùرƤF¤@±øªøÀs¡A±qºÞ²z­ûªºµ¡¤fª½±Æ¨ì°¨¦NªÛªº¶³¼hÃä®ø¥¢¡C·í®É§ÚÅ¥¨ì¤@­ÓÁn­µ»¡¡G

¡u§ÚÄ@·N¥Î¨âªT¦w¼wù¦Ì¹F¬P¶³ªº¶l²¼´«¤@ªT¦è§Qº¸µ·ªº¶l²¼¡C¡v

¡u½Ö¦³¦t©z®É¥N²Ä¤­¤Q¤C¦~ªº¶kº¸¨õ¦w¶l²¼¡H¡v

§Ú°g´bªº°ÝºÞ²z­û¡G

¡u³o¨Ç¤H¬O½Ö¡H¡v

¡u¥L­Ì¬O¬P»Ú¶°¶l®a¡C¡v

¡u¥L­Ì¤H«Ü¦h¶Ü¡H¡v

¡uµL½a¦h¢w¢w¨C¤@»Èªe¨t¤@­Ó¥Nªí¡C¡v

¡u¦ý¬O§A¦p¦ó´À¥L­Ì§ä¨ì©Ð¶¡¡H¦A»¡¡A¦t©z°Êª«¾Ç®a­n¨ì©ú¤Ñ¤~Â÷¶}©O¡I¡v

¡u§Ú¤£ª¾¹D¡F§Ú¥¿­n¬°³o¨Æ¥h½Ð±Ð¸³¨Æªø´X¤ÀÄÁ¡C¡v

µM¦Ó³o¦¸ªº°ÝÃD§ó¥[Ãø¤F¡C´X¤ÀÄÁªº°Q½×©µªø¨ì¤@¤p®É¡C³Ì«áºÞ²z­û²×©óÂ÷¶}¸³¨Æªø¿ì¤½«ÇµÛ¤â¦w±Æ©Ð¶¡¡C­º¥ý¥L½Ð¤@¸¹©Ð«È·h¨ì¤G¸¹©Ð¡C§Ú·P¨ì«Ü©_©Ç¡C¦]¬°®Ú¾Ú§Ú¦Û¤vªº¸gÅç¡A³o¼Ëªº½Õ°Ê¥u¯àªÅ¥X¤@­Ó©Ð¶¡¦Ó¤w¡AµM¦Ó¥L«o¥²»ÝªÅ¥XµL­­¦h©Ð¶¡µ¹³o¨Ç¦h¦ÜµL½aªº¶°¶l®a¡C¥¿ºÃ´b¤¤¥uÅ¥¨ìºÞ²z­ûÄ~Äò¤U¥O¡G

¡u§â¤G¸¹©Ð«È¦w¸m¨ì¥|¸¹©Ð¡A¤T¸¹©Ð«È¨ì¤»¸¹¡F·Ó³o­ì«h¡An ¸¹©Ð«È¾E¨ì 2n ¸¹©Ð¡C¡v

²{¦b§Ú¤F¸Ñ¥Lªº­p¹º¤F¡G³o­pµ¦¬O§âµL½a¦hªº©_¼Æ©ÐªÅ¤F¥X¨Ó¡A´N¥i¥H¦w¹y¶°¶l®a©ó©_¸¹©Ð¡C

©ó¬O©Ò¦³°¸¼Æ©Ð³£¦íµÛ¦t©z°Êª«¾Ç®a¡A©_¼Æ©Ð«h¥Ñ¶°¶l®a©Ò¦í¡C¡]§Ú¨S´£¨ì¦Û¤v¡C¬O³o¼Ëªº¡F¸g¹L¤T¤Ñªº»{ÃÑ¡A§Ú»P¦t©z°Êª«¾Ç®a³B±o«D±`¤Í¦n¡A¥L­Ì´N¿ï§Ú¬°¥L­Ì¾Ç·|ªººaÅA¥Nªí¡F¦]¦¹§Ú¤]¥²»Ý»P¥L­Ì¦P®É¾E²¾¡C§Ú¥Ñ¤@¦Ê¸U¸¹²¾¨ì¨â¦Ê¸U¸¹©Ð¡^¡C§Ú¦³¤@¦ì¶°¶lªºªB¤Í±Æ¦b¶¤¥îªº²Ä¤­¦Ê¤C¤Q¥|¦ì¡A¥L³Q½s¤J¤@¤d¤@¦Ê¥|¤Q¤C¸¹©Ð¡C¤@¯ë»¡¨Ó¡A²Ä n ¦ì¶°¶l®a·|³Q½s¨ì 2n-1 ¸¹©Ð¦í¡C

¦¸¤é©Ð¯î±¡ªp½w©M¢w¢w¦t©z°Êª«¾Ç¾Ç·|µ²§ô¡C°Êª«¾ÇªÌ³£°_µ{¦^®a¡A§Ú¤]·h¨ì¸³¨Æªø¤½´JªºªÅ©Ð¦í¡C¦ý¬O¹ï®È«È¦³¯qªº¨Æ¤£¨£±o·|¨ÏºÞ²zªÌ°ª¿³¡A´X¤Ñ¤§«á§Ú¨ººB´nªº¥D¤HÅܱo«Ü¼~Æ{¡C

¡u¦³¤°»ò§xÃø¶Ü¡H¡v§Ú°Ý¥L¡C

¡u¦³¥b¼Æ©Ð¶¡³£ªÅµÛ¡C§Ú­Ì±NµLªk§¹¦¨¸gÀÙ­p¹º¡C¡v

¨Æ¹ê¤W§Ú¨Ã¤£¤Ó¤F¸Ñ¥L©Ò¿×ªº¸gÀÙ­p¹º¡F²×¨s¥L¤]¦¬¨ìµL½a¦h©Ð¶¡ªº¦¬¶O¡C¾¨ºÞ¦p¦¹¡A§ÚÁÙ¬Oµ¹¥L¤@¨Ç«Øij¡G

¡u¼K¡A¬°¤°»ò¤£§â®È«È²¾°Ê¤@¤U¡A¨Ï¥L­Ìºò®ÁµÛ¦í¡A¥H«K§â©Ò¦³©Ð¶¡³£¦íº¡¡C¡v

³o­Ë¬O¤ñ¸û®e©ö¿ì¤F¡C¶°¶l®a¥u¦í¦b©_¼Æ¸¹©Ð¡G¤@¡B¤T¡B¤­¡B¤C¡B¤Eµ¥µ¥¡CÅý¤@¸¹©Ð«È¤£°Ê¡A§â¤T¸¹©Ð«È¾E¨ì¤G¸¹¡A¤­¸¹¾E¨ì¤T¸¹¡A¤C¸¹¾E¨ì¥|¸¹µ¥µ¥¡C³Ì«á§Y¨Ï¨S¦³·s®È«È¨ì¨Ó¡A©Ò¦³ªº©Ð¶¡¤S­«·s³Q¦íº¡¡C

¦ý³o¨Ã¤£¯à®ø°£¸³¨Æªøªº¼~·T¡G¾Ú»¡¬O¬°¤F¤U­±ªº¨Æµo·T¡F¬y¤`ªÌ»\¤F¦t©z¤j¶º©±ÁÙ¤£º¡¨¬¡A¥Ã¤£¯h¥Fªº«Ø¿v°Ó¤S»\¤FµL½a¦hªº®ÈÀ]¡A¨C¤@®ÈÀ]¤S¦³µL½a¦h©Ð¶¡¡C¬°¤F³y³o¨Ç®ÈÀ]¡A¥L­Ì§â¦n¦hªº»Èªe¨t¸ÑÅé¡A¥H¦Ü©ó»Èªe»Úªº¥­¿Å¨ü¨ì¤zÂZ¡A³o¥i¯à¾É­PÄY­«ªº«áªG¡C©ó¬O¥L­Ì¨ü©R°£¤F§Ú­Ìªº¤j¶º©±¥~¡A¨ä¥L®ÈÀ]¥þ³¡©î±¼¡A¨Ã§â©Ò¥Îªº§÷®ÆÂkÁÙ­ì³B¡C¦ý·í©Ò¦³ªº®ÈÀ]¡]¥]¬A§Ú­Ìªº¡^³£«Èº¡®É¡A­n°õ¦æ³o¹D©R¥O¬O«ÜÃøªº¡C¸³¨Æªø¨ü©R§âµL½a¦h®ÈÀ]ªº®È«È¦w¸m¨ì§Ú­Ì³o­Ó¦­¤w«Èº¡ªº¶º©±¡A¦Ó¨C¤@®ÈÀ]¤S¦³µL½a¦h®È«È¡I

¡u§Ú¤w°÷¨ü¤F¡I¡v¸³¨Æªø¥s³ÛµÛ¡C

¡u­º¥ý§Ú¦b¦­¤w«Èº¡ªº¶º©±¦w´¡¤F¤@­Ó®È«È¡AµM«á¬O 999,999¡A¤§«á¬Æ¦Ü©ó¬OµL½a¦h­Ó®È«È¡F²{¦b¥L­Ì¤S­n§Ú³]ªkÅýµL½a¦h­ÓµL½a¦h®È«È¦b³o¨à¦í¡C¤£¡A³o¶º©±¤£¬O¾ó¥Ö°µªº¡FÅý¥L­Ì¥h¦w±Æ§a¡I¡v

¦ý¬O©R¥O´N¬O©R¥O¡C¥L­Ì¥²¶·¦b¤­¤Ñ¤º·Ç³Æ´Nºü¡A¥H«K®e¯Ç·s®È«È¡C¦b³o¤­¤Ñ¤¤¶º©±ùبS¤H¤u§@µÛ¢w¢w¨C¤@­Ó¤H³£¦bµ±ºÉ¸£¥Ä·Q¿ìªk¸Ñ¨M³o°ÝÃD¡C©ó¬O¶º©±ùؤ½§G¤F¤@­ÓÄa½à¢w¢w­Y¦³¤H´£¨Ñ¸Ñ¨M¤èªk¡A¥i§K¶O±o¨ì¤@­Ó»Èªe¨t®È¦æ¡C¦ý©Ò¦³´£¥Xªº¤èªk³£¦]¤£¥i¦æ¦Ó¤£³Q±Ä¯Ç¡C¨Ò¦p¤@­Ó¥¿¦b¨ü°V¤¤ªº¼p®v´¿§@¦p¤Uªº«Øij¡GÅý²Ä¤@¸¹©Ðªº©Ð«È­ì¦a¤£°Ê¡C§â²Ä¤G¸¹¾E¨ì¤@¤d¹s¤@¸¹©Ð¡A²Ä¤T¸¹¾E¨ì²Ä¤G¤d¹s¤@¸¹µ¥µ¥¡AµM«á§â²Ä¤G®ÈÀ]ªº©Ð«È·h¤J¤G¸¹¡A¤@¤d¹s¤G¸¹¡A¤G¤d¹s¤G¸¹µ¥µ¥¡C²Ä¤T®ÈÀ]ªº·h¤J¤T¸¹¡C¤@¤d¹s¤T¸¹¡A¤G¤d¹s¤T¸¹µ¥µ¥¡C¦ý³o¤èªk¤£¨ü±Ä¯Ç¡A¦]¬°·Ó³o¤èªk¡A«h²Ä¤@¤d¹s¤@­Ó®ÈÀ]ªº®È«È´N¤£ª¾­n¾E¨ì¨º¨à¥h¡F¨ä¹ê«e¤@¤d­Ó®ÈÀ]ªº®È«È´N¥e¾Ú¤F©Ò¦³ªº©Ð¶¡¡C³o­Ó¿ìªkÅý§Ú­ÌÁp·Q°_¤@¦ñ¨Æ¡Gù°¨°Ñij­û´¿´£Ä³±N¤E¤ëªº¦WºÙ§ï¬°±è¤ñ¯d´µ (Tiberius)¡A¥H¥Ü¹ï¬Ó«Òªº·q·N¡]«e¨â­Ó¤ë¤w±Ä¥Î Julius »P Augustus ¨â¦ì¬Ó«Òªº¦W¦r¡^¡A¬Ó«Ò¤@Å¥³o´£Ä³¡AÀH¤f´N°Ý°Ñij­û»¡¡G¡u¨º»ò§A­Ì®³¤°»ò¨Óªí¥Ü¹ï²Ä¤Q¤T¦ì³Í¼»ªº·q·N©O¡H¡v

¶º©±ªºÃ¯°O­û¦³¤@­Ó¸û¦nªºÅܳq¿ìªk¡C¥L«Øij§Ú­Ì§Q¥Î´X¦ó¯Å¼Æ¡A­«·s¦w±Æ®È«È¦p¤U¡G²Ä¤@®ÈÀ]¡]§Y§Ú­Ì³o¶º©±¡^ªº®È«È¦w±Æ¦b¤G¸¹¡B¥|¸¹¡B¤K¸¹¡B¤Q¤»¸¹¡B¤T¤Q¤G¸¹©Ð¶¡µ¥µ¥¡]³o¨Ç¸¹½X§Î¦¨¤½¤ñ¬°¤Gªº´X¦ó¯Å¼Æ¡^¡C²Ä¤G®ÈÀ]ªº®È«È«h¦w¸m¦b¤T¸¹¡B¤E¸¹¡B¤G¤Q¤C¸¹¡B¤K¤Q¤@¸¹©Ð¶¡µ¥µ¥¡]³o¨Ç¦¨¤½¤ñ¬°¤Tªº´X¦ó¯Å¼Æ¡^¡C¥L«Øij§Ú­Ì§â¬Y¦a®ÈÀ]ªº®È«È¨Ì¦¹ªk¦w±Æ¡C©ó¬O«ü¾É­û´N°Ý¥L¡G

¡u§Ú­Ì¬O§_§â²Ä¤T®ÈÀ]ªº®È«È¦w¸m¦b¨º¨Ç©Ð¶¡¡C¨Ï¨ä¸¹½X§Î¦¨¥H¥|¬°¤½¤ñªº´X¦ó¯Å¼Æ¡H¡v

¡u·íµM¡A¡vï°O­û¦^µª¡C

¡u³o¤èªk¤]¸Ñ¨M¤£¤F°ÝÃD¡F¦]¬°§Ú­Ì¤w§â¥|¸¹©Ð¤Àµ¹²Ä¤@®ÈÀ]ªº¤@­Ó®È«È¡A§Ú­Ì¤S±N§â²Ä¤T®ÈÀ]ªº²Ä¤@¦ì®È«È¤À¨ì¨º¸Ì©O¡H¡v

½ü¨ì§ÚÁ¿¸Ü¤F¡F¥L­ÌÅý§Ú¦b¤ÓªÅ¾Ç³N¾÷ºc¾Ç²ß¤­¦~ªº¼Æ¾Ç²×©ó¨S¦³¥Õ¶O¡C

¡u¥Î½è¼Æ¡C§â²Ä¤@®ÈÀ]ªº®È«È¦w±Æ¦b¤G¸¹¡B¥|¸¹¡B¤K¸¹¡B¤Q¤»¸¹¡A¡K¡K¡A²Ä¤G®ÈÀ]ªº¦b¤T¸¹¡B¤E¡B¤G¤Q¤C¸¹¡B¤K¤Q¤@¸¹¡A¡K¡K¡A²Ä¤T®ÈÀ]ªº¦b¤­¸¹¡B¤G¤Q¤­¸¹¡B¤@¦Ê¤G¤Q¤­¸¹¡B¤»¦Ê¤G¤Q¤­¸¹¡A¡K¡K¡A²Ä¥|®ÈÀ]ªº¦b¤C¸¹¡B¥|¤Q¤E¸¹¡C¤T¦Ê¥|¤Q¤T¸¹¡A¡K¡K¡A¡v

¡u³o¼Ë´N¤£·|¦Aµo¥Í¨â­Ó®È«È³Q¦w±Æ¦b¦P¤@­Ó©Ð¶¡ªº¨Æ¤F¶Ü¡H¡v«ü¾É­û°Ý¡C

¡u¤£·|ªº¡A¦]¬°¨â­Ó½è¼Æªº¥ô¦ó­¼¤è³£¤£¬Ûµ¥¡F¤]´N¬O»¡¡A°²¦p p, q ¬°¨â­Ó¬Û²§ªº½è¼Æ¡A¦Ó m,n ¬°¨â­Ó¦ÛµM¼Æ¡A«h $p^m \neq q^n$¡C¡v

«ü¾É­û¦P·N§Úªº»¡ªk¡C¦ý«Ü§Öªº¥L§ï¶i¤F§Ú©Ò´£ªº¤èªk¦Ó¥u¥Î 2, 3 ¨â­Ó½è¼Æ¡C¥L«Øij§â²Ä m ­Ó®ÈÀ]ªº²Ä n ­Ó®È«È¦w±Æ¦b 2m 3n ¸¹©Ð¶¡¡C³o­Ó¤èªk¦æ±o³q¡A¦]¬°°²¦p $m \neq p$ ©Î $n \neq q$¡A6 «h $2^m 3^n \neq 2^p 3^q$¡C©ó¬O´N¤£·|¦³¨â­Ó®È«È³Q¦w±Æ¦b¦P¤@©Ð¶¡¤F¡C

¨C­Ó¤H³£º¡·N³o­Ó«Øij¡C¤j®a³£¥H¬°µLªk¿ì¨ìªº°ÝÃD²×©ó±o¨ì¤F¸Ñµª¡C¦ý¥X¥G·N®Æªº¡A«ü¾É­û»P§Ú³£¨S±o¨ì¼ú½à¡C¦]¬°°²¦p®Ú¾Ú§Ú­Ìªº¿ìªk¡A«h¦³¤Ó¦hªº©Ð¶¡±N¬OªÅªº¡]®Ú¾Ú§Úªº¿ìªk¡A«h¤»¸¹¡B¤Q¸¹¡B¤Q¤G¸¹¥H¤Î©Ò¦³¤£¬O¬Y¤@½è¼Æªº­¼¤èªº©Ð¶¡³£¨S¤H©¹¡A¦Ó«ü¾É­ûªº¤èªk«h¨Ï©Ò¦³¸¹½X¤£¬O 2m 3n §Î¦¡ªº©Ð¶¡ªÅµÛ¡^¡C¦³¤@¦ì¶°¶l®a´£Ä³¤@­Ó³Ì¦nªº¿ìªk¡C³o¦ì¶°¶l®a¬O¤ÑÃZ»Èªe¨t¼Æ¾Ç¬ã¨s°|°|ªø¡C

¥L«Øij§Ú­Ì¦Cªí¡C§â®ÈÀ]ªº¸¹¼Æ¨Ì¦¸±Æ¦b¦C¤W¡A¦Ó©Ð«Èªº¸¹¼Æ«h±Æ¦b¦æ¤W¡C¨Ò¦p²Ä¥|¦C²Ä¤»¦æ¤W©Ò±Æªº¬O²Ä¥|®ÈÀ]ªº²Ä¤»©Ð«È¸¹¼Æ¡C¤U­±´N¬O³o­Óªí¡]¨ä¹ê¥u¦C¤F¥ª¤W¨¤ªº³¡¤À¡A¦]¬°­Y­n¥þ³¡¦Cªí¡A«h»Ý¥ÎµL­­¦hªº¦æ©M¦C¡^¡G

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccc}
(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6...
...,\cdots&(n,n)&\cdots \\
& & & & & &\vdots& \vdots
\end{array}\end{displaymath}

¡uµM«á§â®È«È¨Ì¥¿¤è§Î¦w±Æ¡A¡v¶°¶l¼Æ¾Ç®a»¡¡C

¡u¦p¦ó¦w±Æ¡H¡v«ü¾É­û¨Ã¤£¤F¸Ñ¥L»¡ªº¤èªk¡C

¡u¥Î¥¿¤è§Î¡C¨Ò¦p§â¤@¸¹©Ð¦w±Æµ¹ (1,1) ®È«È¡A¤]´N¬O²Ä¤@®ÈÀ]ªº²Ä¤@®È«È¡F¤G¸¹©Ðµ¹ (1,2) ®È«È¡A´N¬O²Ä¤@®ÈÀ]ªº²Ä¤G®È«È¡F¤T¸¹©Ðµ¹ (2,2) ®È«È¡A§Y²Ä¤G®ÈÀ]ªº²Ä¤G®È«È¡A¦Ó¥|¸¹©Ð«hµ¹ (2,1) ®È«È¡A§Y²Ä¤G®ÈÀ]ªº²Ä¤@®È«È¡C©ó¬O¥ª¤W¨¤Ãäªø¬°¤Gªº¥¿¤è§Î¤Wªº®È«È³£¦w±Æ§´·í¡CµM«á¤~§â (1,3) ªº±Æ¦b¤­¸¹©Ð¡A(2,3) ªº±Æ¦b¤»¸¹©Ð¡A(3,3) ªº±Æ¦b¤C¸¹©Ð¡A(3,2) ªº±Æ¦b¤K¸¹©Ð¡A(3,1) «h±Æ¦b¤E¸¹©Ð¡]³o¨Ç©Ð¶¡±Æº¡¤FÃäªø¬° 3 ªº¥¿¤è§Î¤Wªº®È«È¡C¡^¤]´N¬O¨Ì¤U­±ªº½bÀY¤è¦V¦w±Æ¡G


\begin{displaymath}
\begin{array}{lllllrr}
(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)& \cdots &(1,...
...\leftarrow &(n,n)&\cdots \\
& & & &\vdots& \vdots
\end{array}\end{displaymath}

¡u¯u¦³¨¬°÷ªº©Ð¶¡µ¹©Ò¦³ªº®È«È¶Ü¡H¡v«ü¾É­û«ÜÃhºÃªº°Ý¡C ¡u·íµMÅo¡C®Ú¾Ú³o­Ó³]­p¡A«h«e n ­Ó®ÈÀ]ªº«e n ­Ó©Ð¶¡¡C©ó¬O¨C¤@®È«È¦­±ß·|¤À¨ì¤@­Ó©Ð¶¡¡CÁ|¨Ò»¡¡A²Ä¤@¦Ê¤T¤Q¤»®ÈÀ]ªº²Ä¤G¦Ê¤Q¤C¸¹©Ð«È·|¦b²Ä¤G¦Ê¤Q¤C¦¸ªº¤Àµo¤¤¤À¨ì©Ð¶¡¡C§Ú­Ì¬Æ¦Ü¥i¥H«Ü®e©öªººâ¥X¥L©Ò±o¨ìªº©Ð¶¡¸¹½X¡C¨º¬O²Ä 2162 + 136 ¸¹©Ð¡C¤@¯ë±¡§Î¡A²Ä m ­Ó®ÈÀ]ªº²Ä n ­Ó®È«È¡A­Y $n \geq m$ ®É«h¤À¨ì²Ä (n-1)2 + m ¸¹©Ð¡A­Y n<m «h¤À¨ì²Ä m2-n+1 ¸¹©Ð¡C¡v

³o­Ó³]­p³Q¤½»{¬°³Ì¦nªº¢w¢w©Ò¦³®ÈÀ]ªº®È«È¦b§Ú­Ìªº¶º©±³£·|¦³©Ð¶¡¦í¡A¦P®É³o¶º©±¤]¤£·|¦³ªÅ©Ð¡C©ó¬O³o¦ì¶°¶l¼Æ¾Ç®a±o¨ì¤F¼ú½à¡C¥L¨M©w¨ì LCR-287 »Èªe¨t¥h®È¦æ¡C«ü¾É­û³]®b¼y¯¬³o­Ó¦¨¥\ªº¸Ñ¨M¤èªk¡C©Ò¦³®È«È³£³QÁÜ°Ñ¥[®b·|¡C¥D¤H¦w±Æ¨C­Ó¤H¤@­Ó§¤¦ì¡C¦ý°¸¼Æ¸¹ªº©Ð«È¦]¿ð¨ì¥b¤p®É¦Ó§ä¤£¨ì¦ì¸m§¤¡A©ó¬O¥L­Ì±oµ¥¤j®a§â§¤¦ì½Õ¾ã«á¤~¯à¤J®y¡]·íµM¤£¥t¥[´È¤l¡^¡C«á¨Ó·í¦B²N²O¤W®à®É¡A«oµo²{¨C¤H¦³¨â¥÷¦B²N²O¡C¨Æ¹ê¤W¼p¤l¥u·Ç³Æ¨C¤H¤@¥÷¡F§Ú§Æ±æŪªÌ²{¦b¸Ó·|¤F¸Ñ³o¨ì©³¬O«ç»ò¤@¦^¨Æ¤F¡C

®b·|§¹«á¡A§Ú§¤¤W§Úªº¥ú¤l¤õ½b¡A°_µ{¦^¦a²y¡C§Ú¥²¶·§i¶D¦a²y¤Wªº¤Ñ¤å¾Ç®a¡A¦t©z¤¤·s¦s¦bªº¤ÑÅé¡C°£¦¹¤§¥~¡A§ÚÁÙ­n½Ð±Ð¤@¨Ç¦³¦W±æªº¼Æ¾Ç®a©M§ÚªºªB¤Í¤jÄõ²æ±Ð±Â¡A¦³ÃöµL­­¶°¦Xªº©Ê½è¡C

   

¦^­¶­º
 
¡]­Y¦³«ü¥¿¡BºÃ°Ý¡K¡K¡A¥i¥H¦b¦¹ ¯d¨¥ ©Î ¼g«H µ¹§Ú­Ì¡C¡^
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 ¤¤¥¡¬ã¨s°|¼Æ¾Ç©Ò¡B¥x¤j¼Æ¾Ç¨t
¦Uºô­¶¤å³¹¤º®e¤§µÛ§@Åv¬°­ìµÛ§@¤H©Ò¦³


½s¿è¡G¦¶¦w±j ³Ì«á­×§ï¤é´Á¡G4/26/2002