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.原載於數學傳播第一卷第一期
.感謝九章出版社同意轉載

註釋
 

無限集合的一些特殊性質

N.Ya. Vilenkin
柯惠美

 
 

所有數學導源於無限的觀念,這說法並不誇大。一般情形,在數學上我們對個別的個體(數,幾何圖)沒有興趣,但對這些個體所組成的集體倒有興趣:例如所有的自然數,所有的三角形等等。但這樣的組合是由無窮多個個體所組成的。 譯者註

為了這個理由,數學家與哲學家常對無限的觀念感到興味盎然。當人們知道任何自然數都有它的後繼者時(也就是說由自然數所排成的數列是無限的),就對無限的觀念激起了興趣。然而為了了解無限,即使是最初的設想都導致很多的矛盾。

舉個例說,希臘哲學家齊諾 (Zeno) 用無限的觀念證明運動是不可能的!他說一隻箭要射到一個目標,它必需先飛過前一半的距離,但要飛完前一半又需先飛過前四分之一的距離,前八分之一等等。但這種一半又一半的過程是永無止境的(在這兒無限觀念產生了),於是他說這隻箭就永遠無法離弓了。他證明的方式與證明「善跑的阿紀利 (Achilles) 永遠無法追過慢步的烏龜」完全一樣。

由於這些矛盾與詭辯,古希臘數學家拒絕做任何與無限有關的研究,並把它摒棄於數學論述之外。他們假設所有的幾何圖形由有限個極小,看不見的小部分(原子)所組成。在這假定之下,要把一個圓分成相等的兩半是不可能的,因為圓心必需屬於其中一半,但這就與兩半相等的條件相違背。

在中世紀無限這問題所以引起興趣,主要是與爭論「能坐上同一針尖的天使是有限個或無限個」有關。比較廣泛的使用無限觀念,還是開始於十七世紀「數學解析」創始時。諸如無窮大量與無窮小量在數學申論的每一步驟都被用上。然而無限集合(即含有無窮多個元素的集合)在當時並未研究。所研究的都是些可變量,它可變得大於任何所給的數。這些量被稱為「傾向於無窮的大」,意思是說它可隨意大。

一直到十七世紀中葉,無限集合的研究才開始出現在解析上。無限集合數學理論的創始者是一位博學的捷克數學家波查諾 (Bolzano) 和德國數學家堪托 (Cantor)(不幸的是波查諾主要的工作在他死後數年才發表)。奇怪的是兩位創始者都精通中世紀的經院哲學。兩位終能改進經院哲學,進而促使集合論成為數學重要的一門。

波查諾與堪托的重要成就在於探討無限集合的性質;有限集合的性質早為他們的前輩所熟知。波、堪兩位發現有限集合與無限集合的性質完全不同:許多運算在有限集合上是不可能,但在無限集合卻易如反掌。舉例說吧,假定每個房間不能多於一個房客,想要再一個已客滿的旅館再安頓一個房客,辦得到嗎?當然辦不到,因為旅館的房間數量有限!但若房間的數量無限是否就辦得到?這種旅館出現在一本書上,書名叫做《星際送奶者,沈默者伊翁》。這是波蘭幻想家史坦尼斯羅.蘭所著。書中描寫星際旅行家沈默者伊翁的英雄事跡。現在讓我們聽聽作者說些什麼吧。

 
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特殊的旅館,(或沈默者伊翁的一千零一次旅行)

我回家很遲,是安德羅米達星雲俱樂部的聚會拖到深更半夜之故。這一整夜我被惡夢所困擾。我夢見吞下一隻龐大的怪物,然後又夢見再度到行星度爾第托夫,在那些可怕的機器當中,我不知道如何躲開那個會將人變成六角形的機器;然後……。突然一個電話使我驚回現實,那是我的老朋友兼星際旅行伙伴大蘭脫教授打來的。

他說:「親愛的伊翁,有一個緊急的問題發生了,天文學家發現宇宙中出現一個奇怪的物體──一條神秘的黑線由一個銀河系延伸到另一銀河系。沒有人知道到底是怎麼回事,即使在火箭上裝上最好的望遠鏡和無線電望遠鏡也無法探知這個謎。你是我們最後的希望了。快朝著星雲 ACD-1587 的方向起飛吧」。

次日我從修理廠取回我的舊光子火箭,同時裝上時間加速器和電子機器人。這機器人懂得宇宙中所有語言和所有有關星際旅行的故事(在旅途中保證能使我消遣至少五年之久)。於是我就起飛執行我的任務了。

正當機器人講完它所有的故事而開始重複敘述的時候(再沒有比聽一個電子機器人重複老故事十次更難受的事了),我旅程的目標就顯現在不遠的地方了。那些附有神秘緩緩的銀河系已落在我身後,呈現在眼前的是……宇宙大飯店。前些時我造了一個小行星,供那些星際間漫遊的流亡者住宿。但他們把它給拆掉了,再度流離失所。後來他們決定不再遨遊陌生的銀河系,於是蓋起了一棟豪華宏偉的建築物──給宇宙中所有旅遊者的旅館,叫做宇宙大飯店。這飯店橫跨幾乎所有的銀河系。我說「幾乎所有」是因為流亡者已經把少數荒蕪的銀河系解體成零零落落的星群。

大飯店裝璜得很神奇。每間房裝有冷熱電漿水龍頭。夜堨薿妙氶A假如你願意的話還可以把自己分解成電子,早上則有侍者來把你的原子組合成原來的你。

但飯店最重要的特色是有無窮多個房間。流亡者希望從此以後不會再聽到那令人煩惱的一句話「沒有空房間」,這話從一開始漫遊就困擾著他們。

即使這飯店有這特色,我的運氣還是不佳。一走進飯店前廳,就看到指示牌上寫著:宇宙動物學會的代表在一百二十七層樓登記。

由於宇宙動物學者來自所有銀河系,而銀河系又有無窮多個,於是所有的房間都被學會出席者所占滿,因此沒有空房給我。管理員試著說服某些代表讓我與他們住在一起。但當我發現願意的人中,一個呼吸的是氟氣,另一個則喜歡把室溫調到 860℉ 的環境時,我只好婉謝他們的雅意。

幸好董事長也是個流亡者,他還記得我給他和他的同胞的恩惠。他要想辦法安插我一個位置,因為在星際太空中過夜是會得肺炎的。沈思片刻之後,他轉向管理員:

「把他安置在一號房」。

「一號房的房客又安置到那堜O?」

「把他遷到二號房。二號房的房客遷到三號房,三號房的到四號房,依此類推。」

就在此時我才開始領會這旅館的不尋常特性。假設這旅館僅有有限個房間,則最後房間的房客務必被迫搬出而住到星際太空去。但就因為旅館有無限多個房間,所以我能搬進去而不剝奪任何宇宙動物學家住旅館的機會。

第二天早晨當我發現我必需遷到第一百萬號房時,我也不感到驚訝了。很顯然的,那是因為又有 999,999 位客人要住進旅館。這些遲到者是從銀河系 VSK-3472 來的宇宙動物學者。第三天當我付旅館費時,很驚訝地發現那堭々F一條長龍,從管理員的窗口直排到馬吉芝的雲層邊消失。當時我聽到一個聲音說:

「我願意用兩枚安德羅米達星雲的郵票換一枚西利爾絲的郵票。」

「誰有宇宙時代第五十七年的鄂爾卑安郵票?」

我迷惑的問管理員:

「這些人是誰?」

「他們是星際集郵家。」

「他們人很多嗎?」

「無窮多──每一銀河系一個代表。」

「但是你如何替他們找到房間?再說,宇宙動物學家要到明天才離開呢!」

「我不知道;我正要為這事去請教董事長幾分鐘。」

然而這次的問題更加難了。幾分鐘的討論延長到一小時。最後管理員終於離開董事長辦公室著手安排房間。首先他請一號房客搬到二號房。我感到很奇怪。因為根據我自己的經驗,這樣的調動只能空出一個房間而已,然而他卻必需空出無限多房間給這些多至無窮的集郵家。正疑惑中只聽到管理員繼續下令:

「把二號房客安置到四號房,三號房客到六號;照這原則,n 號房客遷到 2n 號房。」

現在我了解他的計劃了:這計策是把無窮多的奇數房空了出來,就可以安頓集郵家於奇號房。

於是所有偶數房都住著宇宙動物學家,奇數房則由集郵家所住。(我沒提到自己。是這樣的;經過三天的認識,我與宇宙動物學家處得非常友好,他們就選我為他們學會的榮譽代表;因此我也必需與他們同時遷移。我由一百萬號移到兩百萬號房)。我有一位集郵的朋友排在隊伍的第五百七十四位,他被編入一千一百四十七號房。一般說來,第 n 位集郵家會被編到 2n-1 號房住。

次日房荒情況緩和──宇宙動物學學會結束。動物學者都起程回家,我也搬到董事長公寓的空房住。但是對旅客有益的事不見得會使管理者高興,幾天之後我那慷慨的主人變得很憂鬱。

「有什麼困難嗎?」我問他。

「有半數房間都空著。我們將無法完成經濟計劃。」

事實上我並不太了解他所謂的經濟計劃;終究他也收到無窮多房間的收費。儘管如此,我還是給他一些建議:

「嘿,為什麼不把旅客移動一下,使他們緊挨著住,以便把所有房間都住滿。」

這倒是比較容易辦了。集郵家只住在奇數號房:一、三、五、七、九等等。讓一號房客不動,把三號房客遷到二號,五號遷到三號,七號遷到四號等等。最後即使沒有新旅客到來,所有的房間又重新被住滿。

但這並不能消除董事長的憂愁:據說是為了下面的事發愁;流亡者蓋了宇宙大飯店還不滿足,永不疲乏的建築商又蓋了無窮多的旅館,每一旅館又有無窮多房間。為了造這些旅館,他們把好多的銀河系解體,以至於銀河際的平衡受到干擾,這可能導致嚴重的後果。於是他們受命除了我們的大飯店外,其他旅館全部拆掉,並把所用的材料歸還原處。但當所有的旅館(包括我們的)都客滿時,要執行這道命令是很難的。董事長受命把無窮多旅館的旅客安置到我們這個早已客滿的飯店,而每一旅館又有無窮多旅客!

「我已夠受了!」董事長叫喊著。

「首先我在早已客滿的飯店安插了一個旅客,然後是 999,999,之後甚至於是無窮多個旅客;現在他們又要我設法讓無窮多個無窮多旅客在這兒住。不,這飯店不是橡皮做的;讓他們去安排吧!」

但是命令就是命令。他們必須在五天內準備就緒,以便容納新旅客。在這五天中飯店堥S人工作著──每一個人都在絞盡腦汁想辦法解決這問題。於是飯店堣膚G了一個懸賞──若有人提供解決方法,可免費得到一個銀河系旅行。但所有提出的方法都因不可行而不被採納。例如一個正在受訓中的廚師曾作如下的建議:讓第一號房的房客原地不動。把第二號遷到一千零一號房,第三號遷到第二千零一號等等,然後把第二旅館的房客搬入二號,一千零二號,二千零二號等等。第三旅館的搬入三號。一千零三號,二千零三號等等。但這方法不受採納,因為照這方法,則第一千零一個旅館的旅客就不知要遷到那兒去;其實前一千個旅館的旅客就占據了所有的房間。這個辦法讓我們聯想起一伴事:羅馬參議員曾提議將九月的名稱改為梯比留斯 (Tiberius),以示對皇帝的敬意(前兩個月已採用 Julius 與 Augustus 兩位皇帝的名字),皇帝一聽這提議,隨口就問參議員說:「那麼你們拿什麼來表示對第十三位凱撒的敬意呢?」

飯店的簿記員有一個較好的變通辦法。他建議我們利用幾何級數,重新安排旅客如下:第一旅館(即我們這飯店)的旅客安排在二號、四號、八號、十六號、三十二號房間等等(這些號碼形成公比為二的幾何級數)。第二旅館的旅客則安置在三號、九號、二十七號、八十一號房間等等(這些成公比為三的幾何級數)。他建議我們把某地旅館的旅客依此法安排。於是指導員就問他:

「我們是否把第三旅館的旅客安置在那些房間。使其號碼形成以四為公比的幾何級數?」

「當然,」簿記員回答。

「這方法也解決不了問題;因為我們已把四號房分給第一旅館的一個旅客,我們又將把第三旅館的第一位旅客分到那裡呢?」

輪到我講話了;他們讓我在太空學術機構學習五年的數學終於沒有白費。

「用質數。把第一旅館的旅客安排在二號、四號、八號、十六號,……,第二旅館的在三號、九、二十七號、八十一號,……,第三旅館的在五號、二十五號、一百二十五號、六百二十五號,……,第四旅館的在七號、四十九號。三百四十三號,……,」

「這樣就不會再發生兩個旅客被安排在同一個房間的事了嗎?」指導員問。

「不會的,因為兩個質數的任何乘方都不相等;也就是說,假如 p, q 為兩個相異的質數,而 m,n 為兩個自然數,則 $p^m \neq q^n$。」

指導員同意我的說法。但很快的他改進了我所提的方法而只用 2, 3 兩個質數。他建議把第 m 個旅館的第 n 個旅客安排在 2m 3n 號房間。這個方法行得通,因為假如 $m \neq p$$n \neq q$,6 則 $2^m 3^n \neq 2^p 3^q$。於是就不會有兩個旅客被安排在同一房間了。

每個人都滿意這個建議。大家都以為無法辦到的問題終於得到了解答。但出乎意料的,指導員與我都沒得到獎賞。因為假如根據我們的辦法,則有太多的房間將是空的(根據我的辦法,則六號、十號、十二號以及所有不是某一質數的乘方的房間都沒人往,而指導員的方法則使所有號碼不是 2m 3n 形式的房間空著)。有一位集郵家提議一個最好的辦法。這位集郵家是天鵝銀河系數學研究院院長。

他建議我們列表。把旅館的號數依次排在列上,而房客的號數則排在行上。例如第四列第六行上所排的是第四旅館的第六房客號數。下面就是這個表(其實只列了左上角的部分,因為若要全部列表,則需用無限多的行和列):

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccc}
(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6...
...,\cdots&(n,n)&\cdots \\
& & & & & &\vdots& \vdots
\end{array}\end{displaymath}

「然後把旅客依正方形安排,」集郵數學家說。

「如何安排?」指導員並不了解他說的方法。

「用正方形。例如把一號房安排給 (1,1) 旅客,也就是第一旅館的第一旅客;二號房給 (1,2) 旅客,就是第一旅館的第二旅客;三號房給 (2,2) 旅客,即第二旅館的第二旅客,而四號房則給 (2,1) 旅客,即第二旅館的第一旅客。於是左上角邊長為二的正方形上的旅客都安排妥當。然後才把 (1,3) 的排在五號房,(2,3) 的排在六號房,(3,3) 的排在七號房,(3,2) 的排在八號房,(3,1) 則排在九號房(這些房間排滿了邊長為 3 的正方形上的旅客。)也就是依下面的箭頭方向安排:


\begin{displaymath}
\begin{array}{lllllrr}
(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)& \cdots &(1,...
...\leftarrow &(n,n)&\cdots \\
& & & &\vdots& \vdots
\end{array}\end{displaymath}

「真有足夠的房間給所有的旅客嗎?」指導員很懷疑的問。 「當然囉。根據這個設計,則前 n 個旅館的前 n 個房間。於是每一旅客早晚會分到一個房間。舉例說,第一百三十六旅館的第二百十七號房客會在第二百十七次的分發中分到房間。我們甚至可以很容易的算出他所得到的房間號碼。那是第 2162 + 136 號房。一般情形,第 m 個旅館的第 n 個旅客,若 $n \geq m$ 時則分到第 (n-1)2 + m 號房,若 n<m 則分到第 m2-n+1 號房。」

這個設計被公認為最好的──所有旅館的旅客在我們的飯店都會有房間住,同時這飯店也不會有空房。於是這位集郵數學家得到了獎賞。他決定到 LCR-287 銀河系去旅行。指導員設宴慶祝這個成功的解決方法。所有旅客都被邀參加宴會。主人安排每個人一個坐位。但偶數號的房客因遲到半小時而找不到位置坐,於是他們得等大家把坐位調整後才能入座(當然不另加椅子)。後來當冰淇淋上桌時,卻發現每人有兩份冰淇淋。事實上廚子只準備每人一份;我希望讀者現在該會了解這到底是怎麼一回事了。

宴會完後,我坐上我的光子火箭,起程回地球。我必須告訴地球上的天文學家,宇宙中新存在的天體。除此之外,我還要請教一些有名望的數學家和我的朋友大蘭脫教授,有關無限集合的性質。

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002