五、向量幾何和向量代數 (第 4 頁)

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《基礎幾何學》

五、向量幾何和向量代數
——空間結構的系統代數化（第 4 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系
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例題、習題和思考題

【例題】：

(1)

P, Q, R 三點共線的向量條件式：

設 P, Q, R 三點共線，O 是任選之原點，即如 [圖 5-6] 所示：

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=4cm \epsfbox{fig0506.eps}}*\fr... ...)*+{O} ,(0.7,5.1)*+{P} ,(2.7,3.2)*+{Q} ,(4.15,1.85)*+{R} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 5-6 ]

則存在實數 k，使得 $\overrightarrow{PR} = k\overrightarrow{PQ}$ ，亦即

$\begin{eqnarray*} &&\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP} = k\big(\overrightar... ...tarrow{OP}+(-k)\overrightarrow{OQ}+ \overrightarrow{OR} ={\bf0} \end{eqnarray*}$

換言之，存在有不全為零的系數 α, β, γ 滿足

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} \alpha \overrightarrow{OP}+\beta\ove... ...ies{m}\selectfont \cH113} $\gamma\neq 0$)} \end{array} \right. \end{displaymath}$

反之，若存在滿足上述條件的 α, β, γ（設 $\gamma\neq 0$ ），即有

$\begin{displaymath}\beta\big(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\big)+\gamma... ...\overrightarrow{PR}=(-\frac{\beta}{\gamma})\overrightarrow{PQ} \end{displaymath}$

(2)

用向量代數証明 Menelous 定理：

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=5cm \epsfbox{fig0507.eps}}*\fr... ...,(0.6,2.7)*+{R} ,(1.15,3.7)*+{B} ,(1.45,3.25)*+{{\bf b}} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 5-7 ]

令 $\overrightarrow{OP}=k_1{\bf a}$ , $\overrightarrow{OR}=k_2{\bf b}$ , $\overrightarrow{OQ}=x{\bf a}+y{\bf b}$ 。首先，由 A, B, Q 三點共線的向量條件式，即有

$\begin{eqnarray*} && x\cdot\overrightarrow{OA}+y\cdot \overrightarrow{OB}+ (-1)\overrightarrow{OQ}={\bf0} \\ \Rightarrow && x+y-1=0 \end{eqnarray*}$

再者，由 P, Q, R 三點共線的向量條件式，即有

$\begin{eqnarray*} &&\frac{x}{k_1}\cdot\overrightarrow{OP}+\frac{y}{k_2} \cdot \... ...{OQ}={\bf0} \\ \Rightarrow && \frac{x}{k_1}+\frac{y}{k_2}-1 =0 \end{eqnarray*}$

由此解得

$\begin{displaymath}x=\frac{k_1k_2 -k_1}{k_2-k_1}, \quad\quad y=\frac{k_1k_2-k_2}{k_1-k_2} \end{displaymath}$

所以

$\begin{displaymath}\frac{\overrightarrow{OP}}{\overrightarrow{PA}}=\frac{k_1}{k_... ...{\overrightarrow{BR}}{\overrightarrow{RO}}= \frac{1-k_2}{k_2} \end{displaymath}$

即得

$\begin{displaymath} \frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{QB}}=\frac{y}{x}\... ...w{QB}}\cdot \frac{\overrightarrow{BR}}{\overrightarrow{RO}} =-1\end{displaymath}$

(3)

重心和 Ceva 定理：

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=4cm \epsfbox{fig0508.eps}}*\fr... ...,2.3)*+{\bigtriangleup_2} ,(1.6,2.1)*+{\bigtriangleup_3} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 5-8 ]

設 ${\bf a}_i=\overrightarrow{OP_i}$ 分別為質量 $\mu_i$ 的三個質點的位置向量，則其重心的位置向量就是

$\begin{displaymath}\frac{1}{\mu_1+\mu_2+\mu_3}(\mu_1{\bf a}_1+\mu_2{\bf a}_2+\mu_3{\bf a}_3) =m_1{\bf a}_1+m_2{\bf a}_2+m_3{\bf a}_3\end{displaymath}$

其中 m_i 是 P_i 的質量百分比（亦即 m₁+m₂+m₃=1）。若改用重心作為原點，則 $\{{\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3\}$ 滿足條件式

$\begin{displaymath}m_1{\bf a}_1+m_2{\bf a}_2+m_3{\bf a}_3={\bf0}\end{displaymath}$

由 $(m_1{\bf a}_1+m_2{\bf a}_2+m_3{\bf a_3})\times {\bf a}_3={\bf0}$ 得

$\begin{eqnarray*} && m_1{\bf a}_1\times{\bf a}_3+m_2{\bf a}_2\times{\bf a}_3={\b... ...m_1:m_2:m_3\\ \Rightarrow && \bigtriangleup_i=m_i\bigtriangleup \end{eqnarray*}$

這其實乃是 Ceva 定理在「力學」中的表現。

(4)

圓冪定理的向量証法：

設 $\ell$ 為過 P 點的直線，與圓交于 Q₁, Q₂ 兩點。令 X 為 $\ell$ 上的一個動點， ${\bf u}$ 是沿 $\ell$ 方向的單位長向量。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=6cm \epsfbox{fig0509.eps}}*\fr... ...'} ,(4.3,3)*+{{\bf u}} ,(4.6,4.8)*+{\vert{\bf u}\vert=1} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 5-9 ]

易見有

$\begin{displaymath}\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PX} =\overrightarrow{OP}+x {\bf u}\end{displaymath}$

由此可見，直線 $\ell$ 上的動點 X 恰好位于以 O 為圓心，半徑為 R 的圓上的條件式就是

$\begin{eqnarray*} R^2 &=& \overrightarrow{OX}\cdot \overrightarrow{OX} =(\overr... ...cdot \overrightarrow{OP}+2x\overrightarrow{OP}\cdot {\bf u}+x^2 \end{eqnarray*}$

上述二次方程式的兩個根 $\lambda_1$ , $\lambda_2$ 也就是 $\overrightarrow{PQ_1}$ 和 $\overrightarrow{PQ_2}$ 的有向長度。所以

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} \lambda_1\cdot \lambda_2 = \overri... ...bda_2 = -2\overrightarrow{OP}\cdot {\bf u} \end{array} \right.\end{displaymath}$

第一式的幾何意義就是

$\begin{displaymath}\overrightarrow{PQ_1}\cdot\overrightarrow{PQ_2}=\big\vert\ove... ...\cH236}\z{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH220})} \end{displaymath}$

第二式的幾何意義是什麼呢？

令 P' 是 $\ell$ 上使得 (PP',Q₁Q₂) 成調和點列之點，亦即

$\begin{displaymath}\frac{\overrightarrow{Q_1P'}}{\overrightarrow{P'Q_2}}\cdot \frac{\overrightarrow{Q_2P}}{\overrightarrow{PQ_1}} =-1\end{displaymath}$

設 $\overrightarrow{PP'}=k{\bf u}$ ，則有

$\begin{displaymath}\frac{k-\lambda_1}{\lambda_2-k}\cdot \frac{-\lambda_2}{\lambd... ...htarrow \quad k=\frac{2\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\end{displaymath}$

所以

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PP'}\cdot \overrightarrow{OP} &=& k\cdot {\bf ... ...-\lambda_1\lambda_2 =R^2-\big\vert\overrightarrow{OP}\big\vert^2 \end{eqnarray*}$

上述向量代數式的幾何意義就是： $\overrightarrow{PP'}$ 在直線 OP 上的垂直投影是一個固定的向量，亦即和 $\ell$ 無關。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=6cm \epsfbox{fig0510.eps}}*\fr... ...)*+{Q_1} ,(-0.1,5)*+{\ell} ,(2.7,3.9)*+{\scriptstyle P'} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 5-10 ]

【習題】：

(1): 試驗証在例題 (1) 中當 $\gamma\neq 0$ 的條件換成 $\alpha\neq 0$ 或 $\beta\neq 0$ 時，同樣結論亦成立。

設 $\ell_1$ , $\ell_2$ 是空間中兩條（相異）直線， $A_1, B_1\in \ell_1$ , $A_2,B_2\in \ell_2$ 為線上給定的（相異）四點。令 X₁, X₂ 分別為 $\ell_1$ , $\ell_2$ 上的動點，則容易把 $\overrightarrow{X_1X_2}$ 改寫成下述形式：

$\begin{displaymath}\overrightarrow{X_1X_2}=\overrightarrow{A_1A_2}+x_1\overrightarrow{A_1B_1} +x_2\overrightarrow{A_2B_2}\end{displaymath}$

(2)

問 $\overrightarrow{X_1X_2}$ 同時垂直于 $\ell_1$ , $\ell_2$ 的代數條件式是什麼？

(3)

試討論在什麼的情況下這個公垂線段 $\overline{X_1X_2}$ 是

(i): 唯一存在的，而且其長度不為 0；
(ii): 唯一存在的，但是其長度為 0；
(iii): 並非唯一存在的。

(4)

令 $\overline{P_1P_2}$ 為題 (3)(i) 情形中的公垂線段。試証這是所有 $\overline{X_1X_2}$ 中的最短者。

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最後修改日期：6/19/2004