二、平行性與定量平面幾何基礎理論 (第 3 頁)

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《基礎幾何學》

二、平行性與定量平面幾何基礎理論（第 3 頁）

項武義

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．作者任教於香港科技大學數學系
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中國古代的定量幾何

大概遠在戰國時代，定量幾何知識乃是以一套簡樸實用的測量公式在工匠和水利「工程師」之間流傳，如公輸般、墨子、西門豹、李冰、李二郎等等很可能就是中國古文明中幾何知識的創建者和繼承者。在中國古算中，一個直角三角形的兩個直角邊分別叫做「勾」和「股」，而斜邊則叫做「弦」：

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =3.5cm \epsfbox{fig0205... ... {\fontfamily{cwM4}\fontseries{m}\selectfont \cH253}}} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 2-5 ]

中國古代幾何的獨到灼見是善用面積，以矩形面積等于長乘寬為基礎，推導直角三角形的面積等于底乘高之半，然後再用下述圖解簡潔利落地証明了勾股弦公式（或稱作勾股定理）和相似直角三角形的比例式。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =3.5cm \epsfbox{fig0206... ...*+{c} ,(0.8,3.6)*+{c} ,(3.6,4.15)*+{c} ,(4.1,1.4)*+{c} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 2-6 ]

如 [圖 2-6] 所示，一個以 a+b 為邊長的正方形可以有如實線和虛線所示的兩種分割：前者把它分割成一個以 c 為邊長的正方形和 4 個以 a, b 為直角邊的直角三角形；而後者則它分割成兩個以 a, b 為邊長的矩形和兩個分別以 a, b 為邊長的正方形。用以上述兩種分割法去計算其總面積，即得下述等式

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} && c^2+4\cdot \frac{1}{2} ab =a^2+b^2+2ab ... ...ontfamily{cwM1}\fontseries{m}\selectfont \cH106})} \end{array} \end{displaymath}$

出入相補原理：

在中國的古算測量術中，其所用的基本工具就是上述勾股弦公式和下述出入相補原理。

如 [圖 2-7] 所示，在一個給定的矩形的對角線上任取一點 C' ，再過 C' 點作平行于兩邊的直線段（在實際測量中的水平線和垂線），則有：

$\begin{displaymath}\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup ADC,\; \bigtriangleu... ...angleup AFC',\; \bigtriangleup C'GC \cong \bigtriangleup C'EC \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =6cm \epsfbox{fig0207.e... ...*+{D} ,(-0.15,2.3)*+{F} ,(1.33,5.2)*+{E} ,(4.2,2)*+{G} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 2-7 ]

所以 [圖 2-7] 所示的兩個矩形面積相等，亦即

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \Rightarrow \; b\cdot h' =\square BBGC'=\big... ...} : \overline{AB'}=\overline{BC} : \overline{B'C'} \end{array} \end{displaymath}$

亦即相似直角三角形 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup AB'C'$ 的對應直角邊邊長比例式。由它再加上勾股弦公式，就可以推導 $\overline{AC}:\overline{AC'}$ 也等于上述比值。再者，兩個一般的相似三角形總可以用垂線分割成兩對相似的直角三角形，所以一般的相似三角形定理又可以直截了當地歸于相似直角三角形的對應邊比例式去推導。

若用現代定量平面幾何的知識來分析，上述矩形和直角三角形的面積公式，以及勾股弦和出入相補比例式其實業已構成一組完備的定量平面幾何基礎。它不但簡明扼要，而且用面積公式直截了當地一以貫之。這種處理方式易學好用，至今依然是定量平面幾何入門的捷徑。

再者，上述討論也啟示我們相似三角形定理本身應該也可以用中國古法，以簡簡單單的面積計算來加以証明：

【相似三角形定理】：設 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'B'C'$ 的三個對應角相等，則有其三個對應邊邊長成比例，即

$\begin{displaymath}\frac{\overline{AB}}{\,\overline{A'B'}\,}%% =\frac{\overline... ... =\frac{\overline{AC}}{\,\overline{A'C'}\,}%% \; \big(=k\big)\end{displaymath}$

証一：如 [圖 2-8] 所示，我們不妨設 A'=A, $\overline{B'C'} /\!/ \overline{BC}$ 。

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =4.5cm \epsfbox{fig0208... ...{B'} ,(3.7,2.7)*+{C'} ,(4.3,3.7)*+{h'} ,(5.2,2.7)*+{h} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 2-8 ]

效法中國古法，我們用兩種辦法去計算梯形 $\hskip-3pt\raise-1pt\hbox{ \xy\xyimport(1,1){\epsfxsize=0.6cm \epsfbox{trapz.eps}}*\frm{} \endxy }\hskip0pt BCC'B'$ 的面積：

$\begin{eqnarray*} \hskip-3pt\raise-1pt\hbox{ \xy\xyimport(1,1){\epsfxsize=0.6cm ... ...\bigtriangleup BC'B' %% = \displaystyle \frac{1}{2}(h-h')(a+a') \end{eqnarray*}$

由兩式相減，即得

$\begin{displaymath}0=\frac{1}{2}(ah'-a'h) \; \Rightarrow \; \frac{a}{a'}=\frac{h}{h'}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \Rightarrow \frac{\bigtriangleup ABC}{\bigtriangleup A'B'C'}... ...}\bigg)%% \bigg(\frac{h}{h'}\bigg)=\bigg(\frac{a}{a'}\bigg)^2 \end{displaymath}$

同理可得 $\bigtriangleup ABC:\bigtriangleup A'B'C'$ 也等于 $(\frac{b}{b'})^2$ 和 $(\frac{c}{c'})^2$ 。即

$\begin{displaymath} \frac{\bigtriangleup ABC}{\bigtriangleup A'B'C'}%% =\bigg(\... ...\bigg)^2=\bigg(\frac{b}{b'}\bigg)^2=\bigg(\frac{c}{c'}\bigg)^2 \end{displaymath}$

而兩個正數的平方相等時，其本身也相等，所以

$\begin{displaymath}\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'} \eqno \Box \end{displaymath}$

証二：如 [圖 2-9] 所示， $\bigtriangleup BCB'$ 和 $\bigtriangleup CC'B'$ 是同底等高的，所以它們的面積相等。因此 $\bigtriangleup BC'A$ 和 $\bigtriangleup CAB'$ 的面積也相等。再者 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup ABC'$ 是同高的，所以

$\begin{displaymath} \bigtriangleup ABC:\bigtriangleup ABC'=%% \overline{AC}:\overline{AC'} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{xy} \xyimport(5,5){\epsfxsize =3.5cm \epsfbox{fig0209... ...} ,(4,5.3)*+{A=A'} ,(1.35,2.7)*+{B'} ,(4.55,2.7)*+{C'} \end{xy}\end{displaymath}$

[ 圖 2-9 ]

同理亦有 $\bigtriangleup ABC:\bigtriangleup AB'C= \overline{AB}:\overline{AB'}$ 。因為 $\bigtriangleup ABC'$ 和 $\bigtriangleup AB'C$ 等面積，所以

$\begin{displaymath} \overline{AC}:\overline{AC'}=\overline{AB}:\overline{AB'} \end{displaymath}$

這也就是我們所要証的相似比例式。 □

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最後修改日期：6/19/2004