一、連結、分隔與對稱

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．作者任教於香港科技大學數學系

《基礎幾何學》

一、連結、分隔與對稱
——定性平面幾何

項武義

等腰三角形的特徵性質
定性平面幾何中的常用基本事實
例題和習題

定性平面幾何所要研討的主題是「全等形」和「平行性」。在本質上，前者乃是平面對于任給直線的反射對稱性的具體反映，而後者則是三角形的內角和恆等于一個平角 (π) 所表達的「平直性」。在本章中，我們將以一個平面上連結與分隔的基本結構和三個疊合公理為基礎，把定性平面幾何中常用的基本事實，作一次簡明扼要的邏輯推導和系統化整理。而關于平行性的討論，則會留待下一章再作系統整理；亦即在本章的論証中，我們將會完全避免用平行性，所以所証得的結果，在非歐面也同樣成立！為了簡化敘述起見，往後將會用 $\overline{AB}$ 同時表示該直線段子集及其長度， $\angle ABC$ 同時表示該角區及其角度（亦即 $\overrightarrow{BA}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 的方向差）等等。而一些集合的表述方式如 ${\cal S}=<\!\ell_1\cup\ell_2\cup\{A\}\!>$ 和 $\{P\}=AB\cap CD$ 將會簡化為 ${\cal S}=<\!\ell_1,\ell_2,A\!>$ 和 $P=AB\cap CD$ 等等。

等腰三角形的特徵性質

在各種各樣的平面圖形之中，三角形乃是最為簡單者；而在各種各樣的三角形之中，最為基本者則首推等腰三角形。究其原因，就是等腰三角形所具有的軸對稱能夠具體而微地反映著平面的反射對稱性，所以它們乃是研討平面幾何之中對稱性的種種表現與推論的基本工具。所以定性平面幾何的首要之務，就是推導等腰三角形的各種各樣的特徵性質，亦即：

等腰三角形的特徵性質：（如 [圖1-1] 所示）

(i): $\overline{CA}=\overline{CB}$ （定義）；
(ii): $\angle A=\angle B$ ；
(iii): $\angle C$ 的分角線 $\overline{CM}$ 垂直底邊 $\overline{AB}$ ；
(iv): 中線 $\overline{CM}$ 垂直底邊；
(v): 垂線 $\overline{CM}$ 平分頂角。

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=3.5cm \epsfbox{fig0101.eps}}*\... ...{A} ,(5.0,-0.25)*+{B} ,(2.55,5.4)*+{C} ,(2.5,-0.25)*+{M} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 1-1 ]

上述特徵性質的系統推導如下：

【定理 1.1】：設 $\bigtriangleup ABC$ 的兩邊為等腰，即 $\overline{CA}=\overline{CB}$ ，則其頂角 $\angle C$ 的分角線垂直平分底邊，而且其兩底角相等，即有 $\angle A=\angle B$ 。

証明：設 $\overline{CM}$ 平分頂角，由所設 $\bigtriangleup MCA$ 和 $\bigtriangleup MCB$ 滿足 S.A.S. 全等條件。所以

$\begin{displaymath} \angle A=\angle B,\; \overline{AM}=\overline{MB},\;%% \angle CMA=\angle CMB =\frac{\pi}{2} \eqno \Box \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(5,5){\epsfxsize=3.5cm \epsfbox{fig0102.eps}}*\... ...*+{A} ,(5.0,-0.3)*+{B} ,(2.55,5.4)*+{C} ,(2.5,-0.3)*+{M} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 1-2 ]

[註]：如上所証， $\overline{CM}$ 乃是等腰三角形 $\bigtriangleup ABC$ 的對稱軸。等腰三角形乃是平面圖形中具有軸對稱的最簡單者，因此它也是最便于用來分析平面對稱性在各種各樣幾何問題中的作用的「工具」。上述定理已証明由 (i) 可推得餘下各個性質；反之，由 (iii), (iv) 或 (v) 即有 $\bigtriangleup MCA\cong \bigtriangleup MCB$ [証明留作習題]，即得回 (i) 。所以現在還需驗証餘下的 (ii) $\Rightarrow$ (i)，其証明可以由下述一個熟知的疊合條件 A.S.A. 來推導而得：

【定理 1.2】：(A.S.A.) 若 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup A'B'C'$ 滿足 $\angle A=\angle A'$ , $\angle B=\angle B'$ 而且 $\overline{AB}=\overline{A'B'}$ ，則 $\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup A'B'C'$ 。

証明：若 $\overline{AC}=\overline{A'C'}$ ，則兩者已經滿足 S.A.S. 全等條件。不然，不妨設 $\overline{A'C'} > \overline{AC}$ 。在 $\overline{A'C'}$ 上取 C^* 點使得 $\overline{A'C^{*}}=\overline{AC}$ ，則有 $\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup A'B'C^{*}$ (S.A.S.)，所以

$\begin{displaymath}\angle ABC = \angle A'B'C^{*} < \angle A'B'C'\end{displaymath}$

顯然和所設 $\angle ABC = \angle A'B'C'$ 矛盾。□

$\begin{displaymath} \xy \xyimport(10,5){\epsfxsize=8cm \epsfbox{fig0103.eps}}*\f... ...} ,(10,-0.35)*+{B'} ,(8.4,5.5)*+{C'} ,(7.65,4.35)*+{C^*} \endxy\end{displaymath}$

[ 圖 1-3 ]

【定理1.3】：若 $\bigtriangleup ABC$ 的兩底角相等，即 $\angle A=\angle B$ ，則 $\bigtriangleup ABC$ 必為等腰，亦即 $\overline{CA}=\overline{CB}$ 。

証明：由所設 $\bigtriangleup ABC$ 和 $\bigtriangleup ACB$ 滿足 A.S.A. 條件，用[定理 1.2]即得 $\bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup ACB$ ，所以 $\overline{CA}=\overline{CB}$ 。□

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最後修改日期：6/19/2004