保其壽在原序中說：「《心齋雜俎》有算法二十五圖，張山來自云《算法統宗》十有四圖之外者，推而演之當不盡於此云云。《統宗》余未經見，惟山來所演皆平圖，不知立方與渾圓尤為可喜，其源雖權輿洛書，其巧實不可思議，當是天地間合有此一種理數，特假手山來與余耳。」

　　張山來就是張潮，他在《心齋雜俎》卷下《算法圖補》中說：「《算法統宗》所載十有四圖，縱橫斜正，無不妙合自然，有非人力所能為者，大抵皆從洛書悟而得之，內惟百子圖於隅徑不能合，因重加改定，復以意布雜圖，亦皆有自然之妙，乃知人心與理數相為表裡，引而伸之，當猶有不盡於此者，姑即其已然者列於後。」《算法統宗》的縱橫圖，基本上是承傳了楊輝的創作，但通過張潮的文章，只能見到一個百子圖。所以保其壽的注意力一開始便沒有受限於方陣上的縱橫圖，而大膽向立體上發展。因此他選擇了「渾圓圖」的稱呼，並且對自己的創作頗感得意。

　　保其壽的渾圓圖是在立體的頂點、邊線與面上，標以 諸數，使得具相同的邊數的面，其上諸標數的和為一定數。諸面若共用一邊或一頂點，則該邊與該頂點上的標數，在檢驗定和現象時，由各面重複使用。這種標數方法稱為「定和標法」。

圖二

　　保其壽先處理了五個正多面體：正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體。(見圖二)表現的方法採用渾圖與平圖兩種。所謂渾圖也就是一般的立體示意圖，而平圖就是把多面體當作是卡紙製成，再沿某些邊切開後把各面攤平。在平圖的表示法中，某些切開線上的標數會重複出現。

　　保其壽最突出的創作是「六道渾天圖」，就是在球面上交錯纏上六條紙帶，把紙帶與紙帶的交點當作頂點，頂點與頂點間的紙帶當作邊線。(見附頁23)如此頂點、邊線與面的相關位置，與所謂的十二并二十面體(圖三)完全一樣。該立體有十二個五邊形面，二十個三邊形面，因此有兩種不同的定和。

圖三

　　附頁4是互補數對 (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) 的巧妙安排。因為只有頂點有標數，我們稱其為「頂點型標法」。原文所謂「八子作二十四子用」，就是每個頂點被三個面使用，便相當於有二十四個標數。

　　附頁5也是互補數對的安置法，因為只有邊線有標數，我們稱其為「邊線型標法」。

　　附頁6頂邊中間的標數二，應該是二十，本頁最要緊的一句話是「合前二法成此」，也就是說前兩個圖既然各面已具有定和，則把它併成一圖，各面標數和仍然相等。但為了使最終的標數是 ，須把附頁5各數加8，因為各面均為四邊形，如此只使原來的定和增加24。總之我們可以說保其壽運用了「疊合法原則」，從舊的渾圓圖造出新的渾圓圖。

　　附頁7是把互補數對加在附頁4的邊線上，自然仍舊保有定和現象，我們可以說保其壽運用了「加互補數對原則」創造新渾圓圖。

　　附頁8是利用互補數對的邊線型標法，中心三線的交會處可看作是正四面體的頂，全圖便是由頂向底面直視的狀況。

　　附頁9是把正四面體攤平的情形，三個標數一的點，其實都是同一頂點。此頁所說:「凡三角必中心獨用一子」，表示保其壽運用了第三種製作渾圓圖的原則。如果我們把中心各種標數去掉，則原正四面體有一個頂點型標法，其各面標數和分別為6，7，8，9，是一組連續的數。顯然只要在各對應面從大到小補上另一串數，便可得到定和現象。像這種在立體上標數，而使各面和成為一組連續數的方法，我們稱為「連續和標法」，顯然連續和標法比定和標法更為基本。

　　附頁10的標法如果從立體上看，便知與前頁完全相同，只是所謂「形同馬射皮毬」，不知做何解釋。

　　附頁11中保其壽說：「此圖極費經營」是為什麼呢？因為正四面體每一頂點均與其他三點有邊線相連，因此用1，2，3，4標各項點的方法是唯一的，而且是一個連續和標法。如果想把5，6，……，10標在邊上以便整體成為定和標法，則邊線標數必須構成另一個能與頂點標數連續和相搭配的連續和標法。因為邊線不多，利用逐一嘗試的方法，可查知並無連續和標法的邊線型標法，所以保其壽說：「如以一二三四居角，餘用六子，斷不成章。」至於他接著說：「及用十六子以一二三四歸角，四分之又有畸零，故用一三五七。」就是求各面和數的總和時，頂點標數用三次，邊線標數用兩次，但 (1+2+3+4) x 3 ，一共四個面平分，不幸4不能整除282，所以他才把一三五七標在頂點，而得到定和標法。由保其壽的這些話，我們相信他在嘗試標數之前，會用整除的性質做一些推斷，然後選擇有希望的數入手。

　　附頁12展示了保其壽運用的第四種原則，也就是如果已經有一渾圓圖是用 標數，則把 k 換為 n+1-k 即刻得到另一個渾圓圖，所以保其壽說：「諸圖均可知此，即前顛倒易之。」

　　附頁3的兩個圖形其實是同一種標數法，而且頂點標數構成一個連續和標法。

　　附頁13中「以一換十八，二換十七，逐子相易即成每面六十六數」，明白的敘述了「顛倒標數原則」。此頁下方「以十三換一亦可，一即換七」是另一種換數方法，也就是圖中l到12逐－換為7到18，而13到18逐一換為1到6，很容易驗證改換後仍保有定和現象。

　　附頁14是把互補數對安置在邊線上，如果把它與附頁13合併，則仍然是定和標法。但若想在附頁13的每邊再加一數，也就是把9到30標在各邊，卻不能保有定和現象，因為19 + 20 +……+ 30 = 394不能被8整除。此頁所謂「一○九數」「一百二十七數」應改為「二三一數」「二四九數」。又本頁所用數碼今人多半不能閱讀，圖四複製李儼的改繪以便對照。

圖四

　　重繪附頁15為圖五。原文漏印在9與15之間的兩個數，它們應該是22與50。

圖五

　　附頁16下方在2與70之間，原文印的「廿四」有誤，應該是「八十」。

　　附頁17的頂點標數構成連續和標法。

　　附頁18不僅畫出正十二面體的立體圖，而且說：「惟積二十子三倍之，不合十二除，故用三十二子。」也就是光標頂點是無法達到定和現象，因此才有附頁17的連續和標法。

　　附頁19是很有意思的創作，一方面把在後面的諸標數倒印，(請與圖六對照)，另方面各項點標數與附頁17完全相同。因此當把各頂點標數去掉，再把各邊標數減20，就會得到一個邊線型的連續和標法。而這個邊線型標法可併入附頁17的頂點型標法，而得到定和現象。如此一對連續和標法稱為互補，這種「互補連續和原則」的運用，在介紹附頁9時已經論及。

圖六

　　附頁23說明如果只用1到30標各項，每一頂點均被兩個三邊形與兩個五邊形共用。但無論考慮三邊形或五邊形，都不滿足整除性，因此頂點型定和標法不存在。

　　附頁20同時標頂點與邊線，終於達成定和。(請對照圖七)不過保其壽如何作出這麼複雜的標法，實在令人費解。

圖七

　　附頁21的標法是從附頁20導來：先把每一頂點加60，再把每一邊線減30，最後取其鏡像反轉便得。

　　附頁22是把顛倒標數原則用到附頁20而得，不過在左腰部「七九」與「七七」之間漏植了「三六」。

　　從前面的研究分析中，可看出保其壽在製作渾圓圖時，至少有意識的運用了四種原則：

　　（一）兩個定和標法的疊合。
　　（二）添加互補數對。
　　（三）兩個互補連續和漂法的疊合。
　　（四）顛倒 k 與 n+1-k。

　　十九世紀的西方數學已經非常發達，在數學主流方面，中國數學家實在落後太遠。但是組合數學在十九世紀尚未成型，只有若干獨立零星的結果。雖然西方也有人用心於魔方陣的創作，但像保其壽在立方體上如此複雜的定和標數卻不曾見，我們應該肯定他的貢獻的歷史價值。

　　保其壽的工作也有現代的意義，在現代組合數學的圖論 (Graph Theory)，可考慮平面圖網的標數問題，也有各種有趣的定和或連續和現象。作者在這方面的創作已發表於他處 ^註4 ，不再重複細述。圖八是作者發現的正二十面體頂點型連續和標法，這是保其壽未能發現的，至於它是否有互補的邊線型連續和標法，則作者尚未能確定。

圖八