關孝和（Seki Takakazu，約1642∼1708年），日本數學家，和算時期承先啟後的大家，發展筆算代數、行列式，創立追求圓周率的新方法，並得到球體積公式。

日本從大化革新開始，先後派遣隋使，遣唐使及留學生到中國，曆算之學也隨著諸種文物輸往日本。這期間中國的主要算書日本都有，但是數學並沒有相應的水準。

十六世紀末，豐臣秀吉征韓，中國文物第二次大量輸往日本，其中包括了《算學啟蒙》及《算法統宗》這兩本算書，受其影響，日本發展了獨具風格的和算，直到明治維新之後，才因與西方接觸而有改變。

日本人自己的第一本數學著作《割算術》(1622年)，就像《算法統宗》，主要也是介紹珠算的。另一本受《算法統宗》影響的《塵劫記》，其1641年版的特色是附有徵答問題。這種問題稱為「遺題」，解了「遺題」，再提新的問題，就稱為「遺題繼承」。遺題繼承在和算中逐漸形成風尚，也使和算逐漸超越實用的領域，而邁向高深數學的研究。

中國的天元術原本是利用算籌立方程式，解方程式的。日人將其解讀，由澤口一之寫成《古今算法記》（1671年）。 關孝和發揮遺題繼承的精神，著成了《發微算法》一書，將天元術的內容，利用省略符號，表成筆算式的代數。 大致說來，關孝和的代數就是多項式及其方程式的推演與計算，只不過用的是甲、乙、丙等與現代截然不同的符號。 代數筆算化是和算的重大成就之一，也標示著和算從中國數學脫胎而自主的一個里程碑。

關孝和原為內山氏(在今群馬縣與長野縣之交)之後，但過繼關家為養子。為江戶德川幕府直屬之士。

除了發展筆算代數外，關孝和還為了解三個聯立的二次方程式，而創造了三階行列式，並推廣到四、五階。 此外，他也發展了求得「方垛」k^p之和 方法。

和算另一大成就是有關圓與球的研究，也就是和算後期所稱為「圓理」。

和算求圓周率的方法和Archimedes的一樣。從直徑為1的圓內接正四邊形開始， 利用公式 逐次計算內接正m邊形的一邊長a_m。 設內接正2ⁿ邊形的總長是 s_n(=2ⁿa_2n)。和算家曾算到s₁₇， 實際計算得到圓周率9位正確的小數，然而他們不知道正確到什麼程度，而取π值為3.1415。

到了關孝和，圓周率的求法有了革命性的改變。由 s₂,s₃,…,s₁₇， 他計算兩和之差 d₃=s₃-s₂，d₄=s₄-s₃，…， d₁₇=s₁₇-s₁₆，及這些差的兩兩之比 , , …, 。 他發現這些比值逐漸變小，但幾乎都相等。因此為了求得π的近似值， 而假定 以下的比值都相等。如此， 則 可寫成為等比級數之和， 而得

關孝和的大弟子建部賢弘（Takebe Katahiro，1664∼1739年）做進一步的研究，一樣只算到 s₁₇， 卻可得 π 的小數到 40 位，但他一樣無法確定其準確度。建部賢弘還得到冪級數的展開，把和算帶往微積分的途徑。然而可惜的是，誤差估計，或推而廣之，一般証明的觀念與能力的欠缺，卻是整個和算圓理中最弱的一環，因此和算終究未能進入微積分的殿堂。 （關孝和的球體積公式是猜到的，而不是理論推得的！）

（節錄自科學月刊第十八卷第二、第三期的文章《和算──日本的傳統數學》。）

（撰稿：曹亮吉／台大數學系）

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