Poincaré（1854∼1912）生於法國 Nancy，卒於巴黎，法國數學家。工作橫跨數學與科學多領域，影響廿世紀數學甚鉅，被目為史上最後一位數學通才。

Poincaré 家族顯赫，堂弟 Raymond Poincaré 是多任的法國總理，而且是帶領法國渡過第一次世界大戰的總統。不過當英國數學家與哲學家 Russell 被問及當代法國偉人時，他所回答的 Poincaré 卻是超越時代，在學術上驚才絕豔的 Henri。

Poincaré 從小在各種學科都表現優秀，在數學上更是被稱為「怪物」的資優生。19歲進入綜合工科學校（École Polytechnique），數學表現遙遙領先同儕。不過由於他小時感染白喉，加上先天肌肉運作不很協調，他在體育、美術、音樂上的表現就相當差勁。更令人驚訝的是他的視力很差，因此上課完全靠聽力來進行，幸好他有著非凡的記憶力與驚人的空間直覺，在知識的掌握與學習上反而另闢蹊徑，以他獨特的「內在之眼」見人之所未見。

1875年他畢業後，進入礦業學校（École des Mines）立志成為工程師，但是他的數學天分，還是讓他走回數學的道路。1879年，他在 Hermite 指導下，在巴黎大學取得博士學位，隨即應聘到 Caen 大學教書。1881年，他27歲時轉到巴黎大學任教，一直到他過世。

Poincaré 的數學工作跨越相當多領域，大略綜述如下：

1. 自守函數（automorphic function）：
   Poincare 早期最主要的工作集中在自守函數的研究，其中牽涉到複變、微分方程、黎曼面、群論的知識。這個主要由他所開拓的領域（還有 Klein），涵蓋了十九世紀最重要的數學課題之一──橢圓函數論。運用其中的 Fuch 函數，可以求得高次多項式的公式解。有趣的是，他命名為 Fuchs 函數的這類函數，被德國數學家 Klein 指出他已經研究過了。於是 Poincaré 幽默地將另一類 Klein 從未涉及的自守函數，命名為 Klein 函數。

2. 動力系統 (dynamical system) 與渾沌 (chaos) 的預見：
   1887年瑞典國王 Oskar 二世懸賞徵答，以解決天體力學中的 n 體問題。Poincaré 以他在三體問題的研究，獲得大獎， 但是他的內容有誤，一直到1890年修訂版才問世。這個重要的錯誤，導致 Poincaré 以定性而非定量的方式重新探討這個艱難的問題，並開啟了廿世紀動力系統定性理論的先河。近日流行的渾沌理論，雖然另有起源，但是其數學理論則為動力系統的一支，許多 Poincaré 使用的詞彙（如 stability、cyclic solution、Poincaré map、homoclinic point 等……），今日都已經成為標準用法。

   另外，Poincaré 在天體力學的成就，總結在他《天體力學方法》（Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1892-1899）三冊，《天體力學講義》（Legous de mecanique celeste, 1905-1910）三冊，他的傳記作者及數學家 Darboux，稱讚前者繼 Laplace《天體力學》後，為整個領域開拓了一個新紀元。

3. 代數拓樸的催生：
   由於自守函數與 n 體問題的研究，Poincaré 心中開始醞釀它們恰當的幾何基礎，1895年他出版《位相分析》(Analysis situs) 正式為代數拓樸吹起號角，提出基本群 (fundamental group)、同調群 (homology group)、Poincaré 對偶性質(Poincaré duality)、三角分割 (triangulation) 等新觀念，此後40年間代數拓樸的蓬勃發展，幾乎都是以 Poincaré的工作與構想為基礎。一直到今日，所謂

   三維 Poincaré 猜測：
   若一三維連通緊緻無邊流形之基本群為 1，則它必為圓球。

   仍然是幾何領域最具挑戰性的猜測（更高維的 Poincaré 猜測，已經被 Smale 與 Freedman 解決，他們並都因此榮獲費爾茲獎）。

4. 其他工作：
   Poincaré 至少還催生了多複變函數論的領域；機率論的遍歷性假設（應用到統計力學）；在代數幾何的代數曲線方面，澄清義大利學派的迷團；研究數論裡丟番圖問題的有理點；流體力學中旋轉流體之平衡解（之後應用到天體演化之宇宙學）；由於研究電子運動，他得到許多與愛因斯坦狹義相對論相同的結果，（只是 Poincaré 還受限於舊以太介質的觀念）；另外他在物理及其他科學領域也有許多成果，這種非凡的成就讓他成為法國科學院唯一橫跨所有分組──幾何，力學，物理，地學與航海學的院士。

Poincaré 是一個相當獨立的數學家，終身沒有一個學生。他的數學行文也經常因為略帶混淆卻又規模宏大而引人詬病，Dieudonne 就曾經埋怨說，因為 Poincaré《位相分析》的不清不楚，使它在數學發展上延宕太久。

行有餘力的 Poincaré，為公眾所寫的科學普及文章卻是異常流利，他的三本科學哲學著作結集《科學與假說》(1901)，《科學的價值》(1905) 和《科學與方法》(1908)，十分暢銷並被譯成多種文字流傳，他還因為著作的文學成就而獲選為法蘭西學院 (Académie française) 院士（法國文人作家的最高榮譽）。

在這些書中，可以看到 Poincaré 的數學思想。他嘲諷 Frege、Russell 的邏輯主義思想，也不喜歡 Hilbert 的形式主義思想，大力強調在數學研究中，邏輯雖是必要的驗證工具，但卻只有依賴我們的直覺，才能發明或確認可靠而正確的數學對象或觀念。就這點而言，他是後來直覺主義的先驅者。

另外他在科學哲學中的「約定論」(conventionalism)，也讓他這位純數學家始終在廿世紀科學哲學論辯中不曾缺席（另一位是 Gödel），尤其近日「科技研究」(science study) 強調科學知識中的權力因素，Poincaré 的想法，又多少重新受到注目。

本文參考資料：（1）大英百科全書； （2）MacTutor數學史檔案網站 ；（3）Bell, E.T. 《大數學家》，九章出版社；（4）《Dictionary of Scientist》， Oxford University Press。

（撰稿：翁秉仁／台大數學系）

• MacTutor

（若有指正、疑問……，可以在此 留言 或 寫信 給我們。）