Klein（1849∼1925）生於 Dusseldorf，卒於 Göttingen，德國數學家。在群論、幾何、 微分方程與函數論交匯的數學領域上有重大貢獻，尤以幾何的「Erlangen 綱領」著稱於世。

Klein 是一個早慧的天才數學家，16歲進入Bonn大學就讀，19歲在 Plucker 指導下獲得博士學位，23歲在 Clebsch 推薦下就任德國南部 Erlangen 大學數學系主任，25歲就成為《Mathematische Annalen》的編輯，37歲成為 Göttingen 數學系主任，將 Göttingen 帶入其黃金顛峰。

1968年，20歲的 Klein 遊學巴黎，認識挪威數學家 Lie，他們兩人的合作為彼此一生之數學事業打下基礎，它們聯合開展了連續變換群（即後稱 Lie 群）的知識，Klein 並巧妙地將它運用到幾何與微分方程上。1872年，Klein 在 Erlangen 大學揭櫫之「Erlangen 綱領」揭示了一個嶄新與統一的新觀點，將所謂幾何性質定義成對應於某變換群不變之空間性質。藉由這個綱領，幾何脫離了上千年的歐基里得觀點，並且清楚地涵蓋並刻劃當時幾何的紛爭焦點：歐氏幾何與非歐幾何。

藉助於群論的視角，Klein 更深入研究的是繼承並發展黎曼的函數論，深入探討微分方程，群論，不變量理論與黎曼面的關係。他發展曲面的賦向（orientation）觀念，證明有向曲面的分類對應於虧格 (genus)，並且深入討論不可賦向的射影面與 Klein 瓶。另外，他在橢圓模函數 (elliptic modular function) 與自守函數 (automorphic function) 的工作，是 Klein 自認為他一生研究的顛峰。

另外值得一提的是，Klein 在22歲一篇討論非歐幾何的文章中，提出非歐幾何的 Klein 模型， 一舉將非歐幾何的一致性問題劃歸到歐氏幾何的一致性問題。

可惜的是，也許是在他長期身處研究、教育、行政的三重壓力下（尤其是30歲後與 Poincare 在數學上的競爭），他在33歲後幾年精神崩潰，陷入嚴重沮喪，使他一生的重要研究工作就此中斷。

1886年，他接任 Göttingen 數學系主任後，運用他過人的遠見與行政長才， 他為整個廿世紀的數學環境與體制打下一些重要的基礎：

首先是他戮力於將 Göttingen 發展為世界首屈一指的研究中心， 今日許多數學研究中心的組織結構都以 Göttingen 為濫觴藍本，例如每週研究討論會，閱覽室與研究圖書館，都是 Klein 與後來的 Hilbert（被 Klein 1895年請到 Göttingen）一手建立的。

其次，Klein 為《Mathematische Annalen》引入一個現代數學雜誌編輯的流程，在他的手中， 《Mathematische Annalen》的重要性，超過以柏林大學為班底的《Crelle's 雜誌》。

另外，Klein 是一個非常有見識的數學教育家，早年他的學生 Hurwitz、Bianchi、Ricci 都是獨當一面的數學家。晚年他更投身於大學前的數學教育工作，留下非常多的數學教材著作，讀者可以參閱 Klein 著《高觀點下的初等數學》三卷中譯本（九章出版社）。

本文參考資料：(1)大英百科全書； (2) MacTutor 數學史檔案網站：Klein； (3)《Dictionary of Scientist》，Oxford University Press。

（撰稿：翁秉仁／台大數學系）

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