Hilbert（1862∼1943），德國數學家，於代數不變量、代數數論、幾何基礎、變分法、Hilbert 空間等方面都有了不起的貢獻，堪稱他那時代最偉大的數學家。他提倡數學公理化，還有提出「Hilbert 問題」，對於二十世紀的數學發展影響甚大。

1862年 Hilbert 生於 Königberg（當時為東普魯士首都，二次大戰畫入俄羅斯版圖），1880年進入當地大學，1884年得博士學位，1886年起在該大學教書，1892年成為教授並成婚。1895年成為 Göttingen 大學教授，一直到過世為止。

Hilbert 做數學的特色是每一時期只專注於一個領域，把主要問題解決後，就轉往另一領域。

1884至1892年，Hilbert 專注於代數不變量，證明代數式之任一變換群的不變量，都有一組有限的基底，而且可以實際建構出來。1892至1898年則專注於代數數論，奠定了類體論的基礎。1898年開始專注於平面幾何公理化的問題，結果在次年完成《幾何的基礎》一書，為平面幾何建立了完整的公理化系統。1899到1901年則是 Hilbert 的變分法時期，以嚴格的證明，確立了Dirichlet 原理：在邊界曲線及邊界值有稍許限制下，有既定邊界值且有連續偏導的所有可能的函數中，會有某一個函數的雙重積分值會達到最小值。1902年，Hilbert 轉向積分方程，由此導出無窮維線性空間（Hilbert 空間），為隨後的量子物理學儲備了犀利的數學工具。

除了在各領域有傑出的成就外，Hilbert 將幾何嚴格公理化的想法很快普及到數學的各領域，而 Hilbert 自己也認真學習物理，想把物理的各分支公理化；不過他在物理學公理化方面的成就有限。

1922年，Hilbert 轉到研究公理化本身，希望證明一般的公理化系統在獨立性、一致性及完備性都不成問題。但1930年代，Gödel 的幾篇論文卻使這樣的希望未能完全實現。

此外，Hilbert 於1900年巴黎第二屆國際數學會議演講也深深影響了二十世紀數學的發展。他認為問題是數學活動的泉源，而問題有些來自經驗與自然現象，有些則因為要將一門學問做邏輯整合、一般化、特殊化而產生。這種理論與經驗的交互作用使得數學變得非常有用。他在此定名為「數學問題」的演講後半中，舉了23個有待二十世紀數學家來解決的問題，一一加以說明其背景。這就是著名的 Hilbert 問題，它們的確在二十世紀的數學發展中扮演很重要的角色。

Hilbert 對知識取得這件事一直是樂觀的，相應於哲學家 du Bois-Reymond 的悲觀說法：我們是無知的，而且我也會一直是無知的，Hilbert 提出了終身的信念則是：我們一定要知道，我們一定會知道。

70歲以後的 Hilbert 身體不太好，記憶也減退。有一天，Hasse 和 Hilbert 談起類體論，Hilbert 卻要求把類體論的基本概念及結果解釋給他聽，隨後 Hilbert 的反應卻是：這的確很漂亮，是誰發明的？

1933年希特勒當權，開始迫害猶太人，Hilbert 的故舊門生紛紛離開德國。Hilbert 變得孤獨，再也沒有活力，就此拖完餘生。

（撰稿：曹亮吉／台大數學系）

• MacTutor

（若有指正、疑問……，可以在此 留言 或 寫信 給我們。）