Cayley, Arthur

凱里

Cayley（1821～1895），生於 Richmond，卒於劍橋。英國代數學家，以不變量 (invariants) 的理論而著名。不變量的觀念對近代物理很重要，尤其是在相對論方面。物理的理論有時會更易，但不變量卻是純數學中長久的一環。

他從劍橋三一學院畢業以後，1846年他25歲的時候離開劍橋。由於不容易找到工作，他轉而去作律師，但他不愛錢，只賺到足夠使他能繼續自己的工作的程度。14年以後他才離開律師的工作。在此期間，他繼續發表數學論文。

不變量的想法早在 Lagrange（拉格朗日）的時候就有了，但他和高斯都沒有看出這個簡單的代數現象能發展成巨大的理論。我們知道，二次方程 ax²+2bx+c=0 有兩等根的充要條件是 b²-ac 等於 0。作變數變換 $y = \frac{(px+q)}{(rx+s)}$ ，即 $x = \frac{(q-sy)}{(ry-p)}$ ，則新方程形如 Ay² + 2By + C = 0，新的係數 A, B, C 可以用舊的 a, b, c 表示如下：

$\begin{eqnarray*} A &=& as^2 - 2bsr + cr^2 \\ B &=& -aqs + b(qr+sp) - cpr \\ C &=& aq^2 - 2bpq + cp^2 \end{eqnarray*}$

由此可知

B² - AC = (ps-qr)² (b²-ac)

我們稱 b²-ac 為 x 的二次方程的判別式，因此 y 的二次方程的判別式為 B²-AC，而上式顯示了變換後方程的判別式等於原來方程的判別式乘上因子 (ps-qr)²，這只與變換 $y=\frac{(px+q)}{rx+s}$ 的係數 p, q, r, s 有關。

是否除了二次方程的判別式以外，還有其他的量也具有上述的性質？這變成了不變量理論想要探討的問題。

Cayley 另外還率先考慮了 n 維的幾何空間以及矩陣的理論。

在判別式及其不變量中，我們談到變換 $y\rightarrow\frac{px+q}{rx+s}$ 。假定我們有兩個這種變換，

$\begin{displaymath} y \rightarrow \frac{px+q}{rx+s} \, ,\, x \rightarrow \frac{Pz+Q}{Rz+S} \end{displaymath}$

連鎖作用之後，我們得到

$\begin{displaymath} y \rightarrow \frac{(pP+qR)z+(pQ+qS)}{(rP+sR)z+(rQ+sS)} \end{displaymath}$

我們將三個變換中的係數寫成三個方陣，

$\begin{displaymath} \left \vert \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array... ...c} pP+qR & pQ+qS \\ rP+sR & rQ+sS \end{array} \right \vert \end{displaymath}$

發現前二者連鎖作用之後就會得出第三者，我們用一種「乘法」來表示：

$\begin{displaymath} \left \vert \begin{array}{cc} p & q \\ r & s \end{array... ...c} pP+qR & pQ+qS \\ rP+sR & rQ+sS \end{array} \right \vert \end{displaymath}$

也就是說，第一個方陣中的列乘上第二個方陣中的行，得到第三個方陣中的項。這種方陣叫做矩陣。我們注意到在這種矩陣的乘法下，並不交換。因為

$\begin{displaymath} \left \vert \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array... ... Pp+Qr & Pq+Qs \\ Rp+Sr & Rq+Ss \end{array} \right \vert . \end{displaymath}$

對外搜尋關鍵字：
．Cayley
．不變量
．Lagrange
．高斯

（撰稿：林聰源∕清大數學系）

參閱：

MacTutor

（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：陳文是

最後修改日期：6/7/2002