Abel（1802∼1829）生於 Frindoe，卒於 Froland，挪威數學家。以證明五次方程式沒有根式解名於世， 他所構思的橢圓函數論，是十九世紀最重要的數學主題之一。他與 Galois 的英才早逝，是十九世紀數學界的悲劇。

由於十九世紀初英法兩國的對峙，企圖中立的挪威（當時還是丹麥的屬地）反而因為被雙方的經濟封鎖， 而導致經濟衰敗，民不聊生。在貧窮中長大的 Abel，一生體質孱弱。他的父親是一個堅定的挪威民族主義者， 雖然曾經參與挪威的立法制憲，卻不能改進家中的經濟情況，反而因為他的早死， 導致十八歲的 Abel 必須撐起家中的重擔。

可能因為就讀的學校太差，Abel 起初並沒有露出過人的才藝，一直到他十六歲那年，一個數學老師 Holmoboe 改變了他的一生，在這位老師的教導下，一年之間 Abel 已經能夠研讀重要的數學家的著作， 例如牛頓、Euler、Lagrange、Laplace 與高斯。

在 Holmoboe 的經濟支援下，19歲的 Abel 得以進入 Christiania大學（今挪威 Oslo 大學）， 20歲得到初等學位，隨後尋求從數學邊陲的挪威到當時的數學聖地──德國與法國朝聖的機會。1824年， Abel 證明了五次方程式沒有根式解，他自費出版這個結果，並寄給他準備拜訪的高斯。

1825年 Abel 在挪威政府的協助下，與幾個友人首途赴德， 在柏林他結識了他的伯樂兼摯友土木工程與業餘數學家 Crelle。他當時正籌辦《Crelle 雜誌》（即《Journal fur die reine und angewandte Mathematik》）， 便請 Abel 將他的結果發表在該雜誌上，事實上在《Crelle 雜誌》的第一冊，便發表了 Abel 七篇文章。

不過除了結識 Crelle 外，Abel 德法之旅實在非常令人沮喪，首先是高斯對代數方程式解的問題並不感興趣， 連 Abel 的文章都沒有打開過。而 Abel 的另一篇討論橢圓函數的劃時代傑作，在巴黎卻遭受 Cauchy、Legendre 等大數學家的冷落。

在飢弱交迫下，1827年25歲的 Abel 失望地回到挪威，在他人生的最後兩年， 他曾致力於研究五次方程的可解條件（結果與 Galois 相仿），後來他專心致力於與 Jacobi 競爭， 研究橢圓函數與更廣義的 Abel 函數。1829年他因重病過逝，令人遺憾的是， 摯交 Crelle 終於替 Abel 在柏林大學謀得教職的遲來喜訊在三天後才到達。隔一年，他與 Jacobi 獲頒法國的 Grand Prix，Legendre 讚美他是「當代最佳的分析學家」，卻已經來不及撫慰這個卒年僅27歲天才數學家的心靈。

雖然 Abel 以證明五次方程沒有根式解出名，但他對數學最大的貢獻是橢圓函數的研究。所謂橢圓積分，是形如

法國數學家 Hermite 曾盛讚 Abel「我無法離開橢圓的領域」，「Abel 留下的觀念可以讓數學家忙上150年」。 事實上 Hermite 利用橢圓函數解決了五次方程式公式解的問題。

（撰稿：翁秉仁／台大數學系）

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