e

e 的發現始於微分，當 h 逐漸接近零時，計算 $(1+h)^{\frac{1}{h}}$ 之值，其結果無限接近一定值 2.71828...，這個定值就是 e，最早發現此值的人是瑞士著名數學家歐拉，他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數。

計算對數函數 $y=\log_a x$ 的導數，得 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\log_a e$ ，當 a=e 時， $\log_e x$ 的導數為 $\frac{1}{x}$ ，因而有理由使用以 e 為底的對數，這叫作自然對數。

若將指數函數 e^x 作泰勒展開，則得

$\begin{displaymath}e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots\end{displaymath}$

以 x=1 代入上式得

$\begin{displaymath}e=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots\end{displaymath}$

此級數收斂迅速，e 近似到小數點後 40 位的數值是

$\begin{displaymath}e\doteq2.71828\; 18284\; 59045\; 23536\; 02874\; 71352\; 66249\; 77572\end{displaymath}$

將指數函數 e^x 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時，由

$\begin{displaymath}e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots\end{displaymath}$

透過這個級數的計算，可得

$\begin{displaymath}e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y)\end{displaymath}$

由此，De Moivre 定理，三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出。譬如說，z₁=x₁+y₁i, z₂=x₂+y₂i，

$\begin{eqnarray*} e^{z_1}\cdot e^{z_2} &=& e^{x_1+y_1i} \cdot e^{x_2+y_2i} \\ ... ...\sin y_2 \\ && {} + i(\sin y_1\cos y_2+\cos y_1\sin y_2) \big] \end{eqnarray*}$

另方面，

$\begin{eqnarray*} e^{z_1}\cdot e^{z_2} &=& e^{z_1+z_2} = e^{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)} \\ &=& e^{x_1+x_2} \big[ \cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2) \big] \end{eqnarray*}$

所以，

$\begin{eqnarray*} \cos(y_1+y_2)&=&\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2\\ \sin(y_1+y_2)&=&\sin y_1\cos y_2-\cos y_1\sin y_2 \end{eqnarray*}$

我們不僅可以證明 e 是無理數，而且它還是個超越數，即它不是任何一個整係數多項式的根，這個結果是 Hermite 在1873年得到的。

相關網頁：

你知道超越數嗎？（林聰源）

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（撰稿：林聰源∕清大數學系）


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編輯：李渭天

最後修改日期：5/6/2002