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e 的發現始於微分,當 h 逐漸接近零時,計算
計算對數函數
若將指數函數 ex 作泰勒展開,則得
![]() 以 x=1 代入上式得 ![]() 此級數收斂迅速,e 近似到小數點後 40 位的數值是 ![]() 將指數函數 ex 擴大它的定義域到複數 z=x+yi 時,由 ![]() 透過這個級數的計算,可得 ![]() 由此,De Moivre 定理,三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出。譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i, ![]() 另方面, ![]() 所以, ![]() 我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何一個整係數多項式的根,這個結果是 Hermite 在1873年得到的。
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(撰稿:林聰源∕清大數學系) |
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編輯:李渭天 | 最後修改日期:5/6/2002 |