微分

Differentiation

  

 

在描述量與量之間的關係時，有一種比較簡單的情形，就是正比關係。例如，車行距離與車行時間成正比，耗油量與車行距離也成正比等等。這種比的關係經常在日常生活中出現，但卻不見得是現象的全部。比方說，當一個物體離開窗戶向下掉落時，它掉落的高度與時間的關係就不是正比關係。雖然不是，但局部的變化卻依然近似一個比的關係，這個比就是所謂的微分，但它並非一個固定的值，而是隨著量的變化跟著變化。

精確的說，在兩個量 x 和 y 之間，先將 x 規定為自變數，再將 y 看成是因變數，當 x 變化到 $x+\Delta x$ 時，就自然引發了 y 到 $y+\Delta y$ 的一個變化。假想 x 是時間，y 是車行位置，當時間進行了 $\Delta x$ 這麼多的時候，車子位置的改變量就是 $\Delta y$，雖然同樣是 $\Delta x$ 的大小，卻會因為 x 時間的不同（上午開車、中午開車，或晚上開車）而有不同的 $\Delta y$。現在我們將 $\Delta y$ 比上 $\Delta x$，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，這可以說是在 $\Delta x$ 這個範圍，y 的平均變化。當然這個值會因為 x 和 $\Delta x$ 的大小而有所不同，以 x 時間，行車位置到了 y 來說， $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 就是從 x 到 $x+\Delta x$ 這段時間的平均速度。平均速度當然要看什麼時候（即 x）開車，和取多少時段（即 $\Delta x$）來做平均而定。

但是如果我們先取了 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$，再讓 $\Delta x$ 趨近於 0，如果 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 也能趨近一個定值，那這個值就只與 x 有關，而與 $\Delta x$ 的大小無關了。當 $\Delta x$ 趨近於 0 的時候，一般而言，$\Delta y$ 也會趨近於 0，但是 $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 之比絕不可天真的以為就是零比零這種不能確定的量，經常，它會是一個確定的值，只不過未必是常數罷了。

以剛才的以 x 表時間，y 是車行位置為例， $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的極限值就是 x 時的速度。

再以具體的例子來了解，如果 y=x2，則 x 變成 $x+\Delta x$ 時，y 就從 x2 變到 $(x+\Delta x)^2$，所以 $\Delta y$ 就是後者減去前者：

\begin{displaymath} \Delta y=(x+\Delta x)^2 -x^2=2x\cdot (\Delta x)+(\Delta x)^2 \end{displaymath}

現在再求 $\Delta y$ 與 $\Delta x$ 之比，它是 $2x+(\Delta x)$，如果讓 $\Delta x$ 趨近於 0，就得到 2x，所以我們說 y=x2 對 x 的微分是 2x，這個 2x 只與 x 有關，並非常數。當然如果 y=3x，那 y 對 x 的微分就是3，這就回到我們一開始說的簡單的正比關係。

可能是因為先以 $\Delta y$ 比上 $\Delta x$，再令 $\Delta x$ 趨近於 0，萊布尼茲建議以 $\frac{dy}{dx}$ 來表達 y 對 x 的微分，在數學中，經常以希臘字母 Δ（讀作 delta）表示差，差也就是 difference（的字母是 d）。當 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 都趨近於 0 時，當然不能以 $\frac{0}{0}$ 來表示「比」的極限，所以換成 $\frac{dy}{dx}$ 是甚聰明的設計，上面說的兩個例子也可以分別寫成 $\frac{d(x^2)}{dx} =2x$ 和 $\frac{d(3x)}{dx} =3$。

如果在 x,y 的坐標平面上畫出函數圖形，那 $\frac{dy}{dx}$ 就代表這個圖形切線的斜率，它可能因 x 不同而不同，如果它竟然是一個常數，那麼圖形就非是直線不可，這又回到了我們一開始說的正比關係，更精確的說 y=mx+b，m,b 都是常數的情形。

 
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（撰稿：張海潮／台大數學系）

相關網頁：
微積分與差和分大意（蔡聰明）

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編輯：陳文是 最後修改日期：9/10/2001