通常說微積分其實是 Newton 與 Leibniz 發明的，指的是他們兩人使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關係，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理上。在他們之前，微積分是萌芽時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應用也是個別的。

積分的起源很早，古希臘時期就有求特殊圖形面積的研究；他們用的是窮盡的方法。Archimedes 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積；這些都是窮盡法的古典例子。

Archimedes 另外用了「分割、取點、求和、求極限」的步驟， 求得 Archimedes 螺線內的面積。這樣的過程正是現代微積分觀念的源頭。可惜 Archimedes 後繼無人。

文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。 譬如為了航海的方便，Mercator 發明了所謂的麥氏投影法， 使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。 他讓經線平行而等間距離散開，讓緯度 θ 附近的緯線長做 倍的放大， 因此緯度為 θ 的緯度線與赤道的間距應為 。 麥氏不會這樣的積分，就開始用分割，取點後所求得的和來做為近似值；這是數值積分法的例子。

在理論方面，有所謂的無窮小方法。 譬如 Kepler 認為圓周長 S 可寫成無窮個無窮小的弧長 ds 之和：，而每一 ds 相應的扇形可看成一三角形，其高為半徑 r，底為 ds，面積為 ，把這些扇形面積做和，就得圓面積為 。

Galilei 認為面積是由無窮小寬度的線條織成的，由此可得速度曲線下的面積為距離。 用類似的想法，Cavalieri 得到Cavalieri 原理： 。由此可導得許多積分，譬如 。

同樣在文藝復興之後，因為實際的需要，開始用無窮小的方法， 考慮速度、變化率及切線的問題。譬如距離 y 與時間 x 的關係設為 y=x²， 則 x 的無窮小變化 dx，所引起 y 的無窮小變化為 dy=(x+dx)²-x²=2xdx+dx²， 兩者相除就得速度為 （因為 dx 為無窮小而有最後的等號）。

一固定長線段 a 分成兩線段，長各為 x 及 a-x，則所圍長方形面積為 f(x)=x(x-a)。Fermat 原理說：一個函數 f(x) 有極值的地方，f(x+dx) 要與 f(x) 相等。用無窮小方法處理 f(x+dx)=f(x)，就得 。無窮小觀點的 f(x+dx)=f(x)，其實就是現在觀點的 f'(x)=0。

用無窮小方法求切線，就如圖所示：P 為切點，P 的坐標 x 做無窮小的變化剩 x+dx，則相應曲線上的 S 點，與原來的 P 點會相近到曲線弧 PS 可看成直線，因此 與 相似，而 T 點就可求得。Galilei、Fermat 等人都精於用無窮小方法處理微分的問題。

使用無窮小處理微分或積分的問題，都要有極強的幾何直觀，需要仔細分辨何時 dx 不為0，何時要為 0，以避開邏輯上的困境。現在微積分的根源其實就是無窮小的方法， 只是它把無窮小的觀念分成兩階段來處理：先有限，再取極限， 而符號則保留了無窮小的用法。

（撰稿：曹亮吉／台大數學系）

相關網頁：

微積分史話（曹亮吉）

人怎樣求得面積？（黃武雄）

Archimedes(阿基米德)論面積（康明昌）

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